Компоненты временного ряда
В практике исследования динамики явлений принято считать, что значения уровней ( 
) временных рядов могут содержать следующие компоненты: тренд ( 
), сезонную компоненту ( 
), циклическую компоненту ( 
) и случайную составляющую ( 
).
Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.
Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебания не превышает года, то их называют сезонными (расходы электроэнергии по кварталам). При большом периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, демографические, инвестиционные.
Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента ( ). Экономисты разделяют факторы, под воздействием которых формируется нерегулярная компонента, на два вида: факторы резкого, внезапного действия (стихийные бедствия, войны) и текущие факторы (ощущается несколько факторов и их суммарное действие).
В этом случае уровни ряда 
. Они являются функцией случайной компоненты: колеблются вокруг среднего уровня, что характерно для так называемого стационарного ряда. На рисунке 10.1 такой ряд представляет собой ломаную линию, параллельную оси времени.
Рис. 10.1
Модель уровня такого ряда имеет вид: 
,
Где – уровни динамического ряда, 
– средний за период уровень ряда, – случайная составляющая, определяемая как 
.
Большинство динамических рядов в экономике характеризуется тенденцией и случайными колебаниями.
Рис. 10.2
Модель уровня такого ряда имеет вид: 
,
Где – тренд, – случайные колебания (рис. 10.2).
Представление временного ряда может быть следующих видов:
(аддитивная модель);
(мультипликативная модель);
(смешанного типа).
Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, т.к., на этом этапе можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики. Отличительной особенностью аддитивной модели является то, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.
Иногда это сложно описать, т.к. во временном ряду ошибок остаются статистические зависимости, которые можно моделировать. Как правило, ряд ошибок – это стационарный ряд.
Ряд называется стационарным, если совместное распределение m-наблюдений: 
такое же, как и для 
при любых m, 
. В этом случае имеем:
,
,
.
При анализе изменения величины 
в зависимости от значения временного сдвига 
принято говорить об автоковариационной функции (АКФ).
.
На практике АКФ статистически оцениваются по имеющимся уровням временного ряда. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции 
определяется формулой:
, (10.1)
где 
, 
.
Числитель формулы (10.1) представляет выборочную оценкукоэффициента автоковариации. График АКФ, отражающий изменение , в зависимости от значений сдвига , называют коррелограммой. Вид АКФ оказывает существенную помощь в выборе моделей, описывающих поведение анализируемых временных рядов.
Проверка гипотезы существования тенденции.
Важной задачей возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. Прогнозирование временных рядов целесообразно начинать с построения графика исследуемого показателя. Однако в нем не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в этих случаях необходимо выяснить, существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует.
Для временного ряда рассмотрим критерий «восходящих и нисходящих» серий, согласно которому наличие тенденции определяется по следующему алгоритму:
1. Для исследуемого временного ряда определяется последовательность знаков, исходя из условий
(10.2)
При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учитывается только одно наблюдение.
Подсчитывается число серий u (n). Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией.
Определяется протяженность самой длинной серии lmax (n).
4. По таблице, приведенной ниже, находится значение l (n).
Таблица 10.5
| Длина ряда n | n £ 26 | 26 < n <153 | 153 < n < 170 |
| Значение l (n) |
5. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95:
(10.3)
Квадратные скобки неравенства в (10.3) означают целую часть числа.
Пример 10.1. Дана динамика ежеквартального поступления платежей, администрируемых таможенными органами в ден. ед. (см. таблицу 10.6). С помощью критерия «восходящих и нисходящих» серий сделать вывод о присутствии или отсутствии тренда. Доверительную вероятность принять равной 0,95.
Таблица 10.6
| t | ||||||||||||||||
| yt |
Решение.
Определим последовательность знаков (таблица 10.7).
Таблица 10.7
| t | ||||||||||||||||
| yt | ||||||||||||||||
| di | + | – | + | – | + | – | + | – | – | + | + | + | – | + | + |
Число серий u (n) = 11, протяженность самой длинной серии lmax (n) = 3, по таблице l (n) = 5. Запишем систему неравенств:
Оба неравенства выполняются, поэтому тренд в динамике поступления платежей отсутствует с доверительной вероятностью 0,95.