Пример построения эпюр ВСФ

Раздел 7.

Сложное сопротивление бруса

 

До сих пор изучались простые виды деформации бруса: 1) центральное осевое растяжение (сжатие); 2) чистый сдвиг; 3) плоский изгиб, когда ; 4) кручение. Каждый вид этих деформаций вызывается своей нагрузкой.

На практике часто на конструкцию действует достаточно произвольная нагрузка, которая может вызвать несколько простых деформаций одновременно. В этом случае стержень (брус) будет испытывать сложную деформацию.

 

Определение внутренних силовых факторов (ВСФ)

При сложной деформации в поперечном сечении бруса могут возникнуть шесть компонент внутренних сил и моментов (ось всегда вдоль оси бруса, оси и – в поперечном сечении бруса и составляют правую систему координат ): продольная сила, поперечная (перезывающая) сила вдоль оси , поперечная сила вдоль оси , изгибающий момент относительно (вокруг) оси , изгибающий момент относительно оси , крутящий (относительно оси ) момент. Для их определения в произвольном сечении бруса используют «метод сечений», который дает полученные ранее (1.5) шесть уравнений, рассматривая одну из отсеченных частей бруса (левую или правую):

(7.1)

На рис. 7.1 показаны положительные направления всех ВСФ в сечении левой части бруса.

Рис.7.1

Левой отсеченной частьюусловно будем считать ту часть бру-са, у которой нормаль к сечению (внешняя) направлена вдоль оси (у правой части нормаль направлена против оси ). В сечении левой части: направлены вдоль осей соответственно; , если с

концов осей и эти моменты видны против хода часовой стрелки или от этих моментов правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и соответственно.

В сечении правой части бруса, отброшенной на рис. 7.1, положительные направления ВСФ по III закону Ньютона (действия и противодействия) направлены противоположно показанным на рис. 7.1 направлениям. Составляющие (компоненты) по осям внешних сил для левой и правой частей в уравнениях (7.1) положительны, если они направлены вдоль осей; внешние моменты от них в сечении бруса относительно осей и положительны, если от них правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и (совпадают с направлениями и на рис. 7.1).

С учетом этих правил по формулам (7.1) можно построить эпюры (графики) всех ВСФ по длине бруса, по которым определяется опасное сечение бруса.

При построении эпюр по формулам (7.1):

Р3 Р2 Р1

Рис.7.2

Эп. строится в любой плоскости ( или ), обязательно указать знак; Эп. в плоскости , положительные значения откладывать вдоль направления оси ; Эп. в плоскости , вдоль оси ; Эп. строится в плос-кости изгиба бруса ,

вдоль оси ;

Эп. в плоскости , вдоль направления оси ;

Эп. в любой плоскости ( или ), желательно указывать знак.

Часто ось бруса состоит из отрезков прямых, соединенных под углами 90°(ломанный брус) и загружена произвольной нагрузкой. В этом случае брус разбивается на участки, границами которых служат точки излома оси бруса, точки приложения сосредоточенных нагрузок, начало и конец распределенных нагрузок. На каждом участке вводим правую систему координат (т. центр тяжести поперечного сечения бруса, оси и главные центральные оси сечения; оси правые, если кратчайший поворот оси к оси с конца оси виден против хода часовой стрелки).

 

Пример построения эпюр ВСФ

Рассмотрим «ломанный брус», показанный на рис. 7.2.

Исходные данные:

кН, кН, кН, кН/м, , , , , м

Из рис. 7.2 видно, что брус имеет четыре участка. За первый участок примем тот, который имеет свободный конец ( или ). Выберем участок длиной . Ось вдоль оси бруса от т. а. На этом участке возьмем произвольное сечение с ц.т. на расстоянии от т.а и проведем оси и так, чтобы с осью они составили правую систему координат . Для записи уравнений (7.1) выгоднее рассмотреть часть бруса с известными нагрузками . Внешняя нормаль к сечению этой части направлена вдоль оси , поэтому эта часть считается «левой» при использовании формул (7.1). Правую часть рассматривать невыгодно, т.к. она более сложная и содержит в заделке «k» шесть опорных реакций (которые предварительно придется найти). Далее оси поступательно, без вращения вокруг оси (поворачиваются вокруг оси х), перемещаются на второй участок и в сечении оси и ось . Проще рассмотреть участки и эта часть бруса считается тоже левой, т.к. нормаль в сечении направлена вдоль оси . Положение сечения определим расстоянием , причем . Далее оси перемещаем на III участок и в сечении проводим оси и . Положение сечения определим расстоянием ( ) и рассмотрим правую часть , т.к. нормаль в сечении направлена против оси . На IV участок оси переводим из положения поворачивая их в т. С вокруг оси , ось вдоль стержня . Проводим произвольно сечение в т. , в котором располагаем оси и . Рассмотрим всю переднюю часть, поэтому сечение определим расстоянием ( ), эта часть бруса будет «левой», т.к. направлена вдоль оси (для правой части надо определить 6 опорных реакций в заделке «k»).

Для каждого участка бруса запишем формулы (7.1), по которым построим все эпюры ВСФ:

I участок (левая часть)

кН

кН

кН

– линейная зависимость:

Считаем :

Считаем

По этим данным строим эпюры (графики) всех ВСФ на I участке на рис.7.3 по вышеуказанным правилам.

II участок (левая часть)

кН

кН

– линейная зависимость

Считаем :

квадратная парабола

Считаем

Считаем

Строим эпюры на II участке

III участок (правая часть)

Считаем

Считаем

.

Строим эпюры на III участке.

IV участок (левая часть)

линейная зависимость

Считаем

линейная зависимость

Считаем

Эпюры всех внутренних силовых факторов приведены на рис. 7.3 (1÷6).

По эпюрам можно определить тип сложного сопротивления бруса, найти опасное (расчетное) сечение на каждом участке «ломанного» бруса и величины всех ВСФ в них.

Рис.7.3

 

Типы сложного сопротивления бруса:

Косой изгиб: обязательно .

Изгиб с кручением: обязательно или или оба .

Внецентренное растяжение (сжатие): обязательно , .

Другие комбинации ВСФ относятся к общему случаю сложного сопротивления бруса.

Определим тип сложного сопротивления, найдем опасное (расчетное) сечение на каждом участке бруса из анализа полученных эпюр рис. 7.3.

I участок: Здесь косой изгиб и сжатие. Опасное сечение при , где: , , , , , .

II участок: Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при , где: , , , , , .

III участок: Здесь косой изгиб. Опасное сечение , где: , , , , .

IV участок: Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при , где: , , , , , .

Т.к. в опасном сечении , то расчет этого сечения можно вести по формулам плоского изгиба.

 

Определение напряжений

Ранее получены формулы для определения от и : , . По аналогии можно записать формулу для от (а). В этих формулах х и у координаты точки сечения бруса, где определяется . Очевидно, что при (сжатие) получается. Поэтому в формуле (а) стоит знак минус. При одновременном действие в сечении бруса , и суммарные напряжения в любой точки сечения с координатами х и у можно определить так

(7.2)

Это одна из основных формул сопротивления материалов. В (7.2) , , и координаты точки сечения х и у надо подставлять со своими знаками. Если получится, значит в этой точке сечения – растяжение, если то сжатие. Это важно при оценке прочности хрупких материалов.

От в сечении бруса возникают , определяемые по известной формуле Журавского . Аналогично, от возникают , определяемые по формуле . От кручения круглых валов возникают , определяемые известной формулой . Направления касательных напряжений от , и были выяснены раньше. В каждой точки сечения эти напряжения надо суммировать геометрически (векторно), т.е. суммарные напряжения

tS t0

Рис.7.4

На рис. 7.4 показаны правила геометрического сложения напряжений , и в т.В круглого сечения бруса. Определив в этой же точке «В» от по (7.2), можно оценить прочность в точке «В» сечения по одной из теорий прочности. Например, по III теории прочности получим

Рассмотрим подробнее частные случаи сложного сопротивления бруса.

 

I. КОСОЙ ИЗГИБ

Здесь в поперечных сечениях бруса могут быть , , , а . Косой изгиб может быть чистым, когда вдоль бруса отсутствуют = и поперечным, когда и , а переменны по длине бруса. Косой изгиб может быть плоским, когда вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости и не плоским, когда нагрузки в плоскостях и изменяются произвольно по длине бруса.

Величины и знаки , , и в любом сечении бруса определяются из эпюр. Введем понятие полный изгибающий момент, определяемый так

(7.3)

Если и представить в виде векторов (длина векторов определяет величину и , а направления по правилу правого «буравчика»), то есть геометрическая сумма и , что показано на рис. 7.5. Положение удобно определять углом , который он составляет с осью ( отсчитывается от оси против хода часовой стрелки). Из рис. 7.5 видно:

Рис.7.5

(1) Отсюда (2) Нормальное напряжение в любой точки сечения с координатами и определяется по формуле (7.2), полагая в ней (7.4)

С учетом (1) (7.5)

Рис.7.6

В формулы (7.4) и (7.5) все надо подставить со своими знаками: знаки и берутся из эпюр, всегда. Величина и знак определяется из формулы (2). Во многих случаях известны величина и направле-ние поперечной нагрузки ( или ), направлениях их будем определять углом , отсчи-тываемый от оси (рис. 7.6),

против хода часовой стрелки. В произвольном сечении балки на расстоянии от торца от возникнет , который с направлением составляет угол 90°, а с осью угол , т.е. . Зная и , можно вычислять по (7.5). Но проще силу разложить по осям и , т.е. , (видно из рис. 7.6). От строят эпюру , а от эпюру и далее определяют по формуле (7.4). Аналогично и от погонной нагрузки : , от эпюру , от эпюру .

 

Нейтральная ось (Н.О)

Нейтральная ось – линия в сечении балки, относительно которой сечение поворачивается, оставаясь плоским (гипотеза Бернулли). Обозначим координаты точек на нейтральной оси через . Согласно определения Н.О в этих точках . Подставляя , в (7.5), сокращая на получим

(3)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой линии проходящей через начало координат, т.к. при должно быть . Положение Н.О удобно определять через угол ее наклона к одной из осей координат. Обозначим угол наклона Н.О к оси (рис. 7.7), против хода часовой стрелки.

Рис.7.7

Из рис. 7.7 видно (4) Из (3) следует (5) С учетом (4) получим (7.6) Плоскость изгибающей нагрузки перпендику-лярна , а плоскость изгиба (прогибов) пер-

пендикулярна Н.О. При эти плоскости не совпадают , поэтому эту деформацию и назвали «косой изгиб». При (сечение квадратное, круглое и т.д.) и косого изгиба не будет.

 

Определение напряжений. Расчеты на прочность.

а

Рис.7.8

Для исследования напряженного состояния в сечении бруса строят эпюры в аксонометрии (Эп. ) или в плоскости сечения (Эп. ), используя формулы (7.4) или (7.5), эпюры показаны на рис. 7.8. Для построения эпюр вычисляют в угловых точках сечения ( ) и откладывают их в масштабе с учетом знаков ( – растяжение, наружу от сечения, (–) – сжатие - противоположно).

Далее точки соединяют прямыми линиями, т.к. из (7.4) и (7.5) видно, что линейны по координатам и . Итак, Н.О делит сечение на две зоны, растянутую и сжатую (–) (рис. 7.8).

Для построение эпюры перпендикулярно Н.О проводят линию . В т. « » в масштабе откладывают , а в т. «а» и далее соединяют их прямой линией.

Из эпюр видно, что экстремальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от Н.О. Это будут т.1 и т.3. В них и по (7.4)

где

Итак, в т.1 и т.3 сечения равны по величине и противоположны по знаку

(7.7)

Здесь знак выбирают по физическому смыслу, в растянутой зоне, (–) в сжатой. Аналогично определяются в других сечения с выступающими углами.

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности в опасном сечении бруса можно записать так с учетом (7.7)

(7.8)

При подборе размеров сечения балки используем вторую формулу (7.8), при этом надо задать отношение с учетом рационального расположения сечения: для прямоугольника при (размер вдоль оси ) если то ; если , то размер вдоль оси (т.е. повернуть на 90°) и . Условие прочности одно, а неизвестных два и , поэтому сами задаем отношение . Зная по (7.8) вычисляем необходимый , а по нему размеры и с учетом отношения . При подборе стандартных двутавров и швеллеров аналогично: если сечение располагаем вертикально, как в таблицах ГОСТа и берем: для двутавров , для швеллеров ; если сечение располагаем горизонтально и для двутавров , для швеллеров . Далее по (7.8) находимый необходимый и по нему стандартный номер профиля (в первом случае , во втором ). Определив номер профиля, делаем его проверку по первой формуле (7.8), подставляя табличные значения и из ГОСТа с учетом вышеуказанного в скобках. Можно учесть , добавив .

Для произвольного сечения условия прочности имеют вид : надо найти наиболее удаленные от Н.О точки сечения, найти в них и сравнить их с допускаемыми.

Для балок из хрупких материалов отдельно делается проверка прочности в растянутой (р) и сжатой (сж) зонах, т.к. для них . Размеры произвольного сечения определяются методом попыток (подбором). При каждой попытке необходимо уточнить положение Н.О и координаты точек сечения с .

 

Определение прогибов

Определяют закон изменения прогибов в плоскости как указано в разделе 5, используя известное уравнение и метод Клебша. Далее определяют прогибы в горизонтальной плоскости используя метод Клебша и аналогичное уравнение . Полный прогиб « » в любом сечении балки найдем геометрическим сложеним прогибов и в каждом сечении: . Вычислив « » в нескольких сечениях по длине балки, строят изогнутую ось балки и проверяют ее жесткость.

 

II. Внецентренное сжатие (растяжение)

аx аy Рис.7.9

Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил , приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О – центром тяжести сечении (рис. 7.9). При переносе силы в т. О брус нагрузится продольной силой и изгибающим моментом , причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково.

Определение напряжений

Пусть на брус в т. «Р» с координатами и действует растягивающая сила (рис. 7.9). Перенесем силу сначала на ось (плечо ), а затем в т. О (плечо ). В итоге в поперечном сечении бруса возникнут:

(6)

В произвольной точке «В» сечения с координатами и найдем по (7.2)

(7)

Подставляя (6) в (7) получим

(7.9)

Учитывая, что и подставляя в (7.9)

(7.10)

В произвольных случаях нагружения в формулы (7.9) и (7.10) и надо подставлять со своими знаками в заданных главных центральных осях и . при растяжении бруса, при сжатии.

Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.

Нейтральная ось (Н.О)

Обозначим координаты точек на Н.О через . В этих точках . Подставляя и в (7.10) и сокращая на получим

(7.11)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой ( и в первой степени), не проходящей через начало координат (т.к. при ). Положение Н.О удобно определять отрезками и , которые Н.О отсекает на осях координат (рис. 7.9) и проходит через т. « » и т. « ». Допустим пока, что и . Точка « » в этом случае имеет координаты . Подставляем это в (7.11) получим

Отсюда

(7.12а)

Аналогично т. « ». Подставляя найдем

Отсюда

(7.12в)

Из (7.12) видно, что при и получим и , т.е. наше допущение неверно и правильно Н.О показана на рис. 7.9.

 

Свойства нейтральной оси

Из формул (7.12) следует:

1. Положение Н.О не зависит от величины и знака .

2. Н.О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т. О.

3. При удалении полюса от т. О, Н.О приближается к нему и наоборот.

4. Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н.О перпендикулярна к этой оси (при полюс на оси , , т.е. Н.О параллельна оси или перпендикулярна оси ).

5. При вращении Н.О вокруг произвольной точки « » на ней (рис. 7.9), полюс перемещается по прямой линии, не проходящей через т. О. Подставим в (7.11) . Получим уравнение, которое относительно координат и есть уравнение прямой не проходящей через т. О.

6. Н.О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 7.9 при .

 

Из соотношений (7.12) можно решить обратную задачу: зная положение Н.О (т.е. и ) найти положение полюса, т.е. и

(7.13)

 

Расчеты на прочность

Определив положение Н.О, проведем к контуру сечения касательные, параллельные Н.О. Получим т.1 с координатами и и т.2 с координатами и . Если в т. «Р» действует , то в т. 1 будут растягивающие (р), а в т. 2 сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают из хрупких материалов, поэтому прочность проверяется отдельно в растянутой и сжатой зонах по формулам (7.9) или (7.10):

(8)

При действии на колонну сжимающей силы в т. 1 будут , в т. 2 растягивающие.

Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н.О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.

Для брусьев с сечениями типа прямоугольника, двутавра или швеллера из пластичных материалов, у которых , первую попытку можно провести как при косом изгибе по второй формуле (7.8), определив и по (6), а пока не учитывать. Здесь подбор размеров сечения проводить так, как указано ниже формулы (7.8). Определив размеры сечения, делать проверку по (8) с учетом .

Ядро сечения

Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т.д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н.О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т. О.

а Рис.7.10

Ядро сечения – это некоторая область вокруг ц.т. (т. О) сечения, внутри которой можно располагать полюс т. «Р», не вызывая в сечении колонны напряжений разных знаков (только знака ). Если полюс «Р» расположен на границе ядра сечения, то Н.О только касается контура сечения. На этом и основан порядок построения ядра сечения, показанный на рис. 7.10:

1. Даем Н.О все возможные положения, касательные к контуру сечения, учитывая симметрию сечения. Это Н.О (1) ¸ Н.О (4).