Другие преобразования матриц.
Мы будем рассматривать два типа преобразования матриц: транспонирование и расчленение. При транспонировании строки матрицы становятся ее столбцами с тем же самым номером. В случае квадратных матриц можно сказать, что транспонирование есть поворот матрицы около главной диагонали. Транспонированная матрица обозначается 
.
Операция транспонирования имеет свои свойства и следствия.
1. Транспонирование является рефлексивным. Это значит, что транспонирование транспонированной матрицы дает исходную матрицу.
2. Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
3. Транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При расчленении матрица большого размера представляется как матрица, состоящая из некоторого количества матриц меньшего размера. Рассмотрим матрицу А= 
. Введем следующие подматрицы:
, 
, 
Таким образом, матрицу А можно представить как: 
Пример 2. Некоторая компания в обрабатывающей промышленности располагает данными о своих продажах на протяжении года, сгруппированными по видам изготовляемой продукции и районам сбыта. В таблице представлено распределение трех видов продукции по трем районам.
| Виды продукции | Районы продаж | ||
Перепишем содержание таблицы в форме матрицы порядка 3 х 3.
Аналогичные данные, относящиеся к следующему году, можно записать в том же порядке с помощью матрицы В
.
Тогда общее число единиц продукции вида 1, проданной в районе 1 на протяжении рассматриваемых двух лет, равно сумме элементов, расположенных в каждой матрице на пересечении первой строки и первого столбца 98+55=153. Общее число единиц продукции вида 3, проданной в районе 2 за тот же период, равно 15+40=55. Матрица, составленная путем сложения всех указанных величин, будет тогда иметь вид:
Элементы этой матрицы характеризуют объем продаж различных видов продукции в каждой области на протяжении двух лет.
Пример 3. Пусть существует компания, осуществляющая различные виды продажи товаров. Она имеет разные отделения. В таблице приведены данные о продажах товаров по каждому из отделений.
| Отделение | Виды продукта и его цена | ||
| Вид 1 ( 1 доллар ) | Вид 2 (2 доллара ) | Вид 3 (3 доллара) | |
| Розничные продажи | Продано единиц | ||
| Продажи другим фирмам | |||
| Продажи за рубежом |
Содержание этой таблицы можно записать в виде матрицы 
Выручка от продаж по отделениям
| Отделение | Выручка от продаж |
| Розничные продажи | 58*1+26*2+8*3=134 |
| Продажи другим фирмам | 52*1+58*2+12*3=204 |
| Продажи за рубежом | 1*1+3*2+9*3=34 |
Взглянув на эту таблицу легко заметить, что столбец «Выручка от продаж» легко получить как результат произведения матрицы А на матрицу
Такие матрицы, размера 
, еще называются вектор - столбцом. Матрицы, размера 
называются вектор –строкой .
Пример 4. Умножение матрицы на матрицу. Эту операцию можно представить как многократное умножение матрицы на векторы.
Упражнения.
Выполнить действия с матрицами.
1. 
, найти 3А+2B.
2. 
.
3. 
.
4. 
, найти 3А2-4Е.
5. 
, найти А2-3А+Е.
6. 
7. 
, найти АВ-ВА.
8. 
, найти АВ и ВА.
9. 
, найти АВ и ВА.
10. 
.
11. 
.
12. 
, найти А=(В+2С)(В-2Е).
13. 
, найти АВ-ВА.
14. 
, найти 3А2-2А+5Е.
15. 
, найти А3-7А2+13А-5Е.
Ответы: 1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
. 5. 
.
6. 
. 7. 
. 8. 
, ВА=13. 9. 
, 
. 10. 
. 11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
15. 
.