Непрерывность функции в точке
Односторонние пределы
Дадим их кратко.
Определение 1. Левый предел функции в точке
(обозначение:
):
Правый предел функции в точке
(обозначение:
):
Очевидно следующее свойство:
Для существования обычного предела
необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы
и чтобы имело место равенство
Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в точке
и некоторой её окрестности.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке
если
т.е. если
Функция называется непрерывной слева (справа) в точке
если
(соответственно
).
Функция называется непрерывной на множестве
если она непрерывна в каждой точке
этого множества.
Очевидны следующие высказывания.
(
непрерывна в точке
)
Для того чтобы функция
была непрерывна в точке
необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в точке
Нетрудно показать, что сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке также являются непрерывными в этой точке функциями. Частное
двух непрерывных в точке
функций непрерывно в этой точке, если
С непрерывными функциями связаны следующие два важных утверждения.
Теорема 1. Пусть сложная функция определена в некоторой проколотой окрестности точки
и пусть выполнены условия:
а) существует
б) функция непрерывна в точке
Тогда существует предел и имеет место равенство
Теорема 2. Пусть сложная функция определена в точке
и некоторой её окрестности и пусть выполнены условия:
а) функция непрерывна в точке
,
б) функция непрерывна в соответствующей точке
Тогда сложная функция непрерывна в точке
Теорему 1 называют теоремой о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, а теорему 2– теоремой о непрерывности сложной функции.
Пример 1. Найти предел
Решение. Так как существует а функция
непрерывна в точке
то по теореме 1 имеем
Определение 3.Функции вида
называются простейшими элементарными функциями. Всякая функция, полученная из простейших элементарных функций путём применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функций от функций (т.е. образования сложных функций) называется элементарной функцией (общего вида).
Имеет место следующая замечательная теорема.
Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой внутренней точке своей области определения
.
Напомним, что точка называется внутренней точкой множества
если она входит в
вместе с некоторой своей окрестностью
Например, функция непрерывна на множестве
так как это множество является областью определения функции
и все точки этого множества – внутренние.
Если хотя бы одно из условий определения 2 не выполнено, то функция является
разрывной в точке . Различают два типа разрывов:
Точка – точка разрыва I рода: а) существуют
и конечные односторонние пределы
но либо они не совпадают, либо хотя бы один из них не равен значению
;
б) существуют конечные односторонние пределы но
не определена в точке
Точка – точка разрыва II рода: либо не существует хотя бы один из односторонних пределов
либо хотя бы один из них равен бесконечности.
Например, точка точка разрыва I рода для функций
а для функции она является точкой разрыва II рода.
Если то прямая
вертикальная асимптота для функции
Прямая
называется наклонной (горизонтальной при
) асимптотой функции
, если
Нетрудно показать, что если существуют конечные пределы
то прямая асимптота кривой
Таким образом, асимптоты функции
могут возникнуть при подходе
к точкам разрыва
второго рода этой функции либо на бесконечности.
3. Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл
На рисунке изображены график функции
точки
секущая,
касательная к кривой
углы
Пусть функция
определена в точке
и некоторой её окрестности
. Сместимся из точки
в точку
Величина
называется приращением аргумента в точке
а величина
=
называется приращением функции
в точке
(соответствующим приращению
аргумента).
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то его называют производной функции в точке
и обозначают
При этом функцию
называют дифференцируемой в точке
а
величину называют дифференциалом функции
в точке
Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как и так как
то
т.е.
т.е. производная функции
в точке
является угловым коэффициентом касательной к кривой
с точкой касания
С другой стороны, из рисунка видно,что поэтому
дифференциал равен приращению касательной
к графику функции
при переходе аргумента из точки
в точку
Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке
(касательная),
(нормаль).
Выясним теперь механический смысл производной. Если путь пройденный материальной точкой за время от момента
до момента
то
средняя скорость материальной точки, а величина
мгновенная скорость материальной точки в момент
Нетрудно показать, что
любая дифференцируемая в точке
функция
непрерывна в точке
(обратное, вообще говоря, неверно; пример:
непрерывна в точке
но
не существует).