Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функция называется непрерывной на отрезке если а) она непрерывна в любой точке а на концах и отрезка непрерывна справа и слева соответственно, т.е. Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, сформулированных ниже.

1. Теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постоянная такая, что

2. Теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют точки такие, что

3.Теорема Больцано-Коши Если функция непрерывна на отрезке то каково бы ни было значение существует значение такое, что

4. Теорема Больцано-Коши Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков то существует хотя бы одно значение такое, что

2. Монотонность функции

Напомним определение монотонных функций.

Определение 1.Говорят, что функция строго возрастает на множестве если для любых из неравенства вытекает неравенство Если же то функция называется строго убывающей на множестве Если же из строгого неравенства между аргументами вытекают нестрогое неравенство между значениями функции, то говорят, что является неубывающей (соответственно невозрастающей ) на множестве Множество всех функций строго возрастающих и строго убывающих образует класс строго монотонных функций; невозрастающие и неубывающие функции образует класс просто монотонных функций.

При исследовании на монотонность функций используются выписанная ранее

Теорема Лагранжа.Если функция непрерывна на отрезке и является дифференцируемой по-крайней мере в интервале то существует точка такая, что

Теорема 1.Пусть функция непрерывна на отрезке и является дифференцируемой по-крайней мере в интервале Тогда справедливы следующие высказывания:

1. если то функция строго возрастает на отрезке ;

2. если то функция строго убывает на отрезке .

Доказательствовытекает из равенства (1), в котором надо положить Действительно, если а (тогда и ), то (см. (1)) будет

выполняться неравенство Это означает, что функция строго возрастает на отрезке . Аналогично доказывается высказывание 2. Теорема доказана.

Замечание 1. Можно показать, что в случае нестрогого знака производной имеет место высказывание:

3. Для того чтобы функция удовлетворяющая условиям теоремы 1, была неубывающей (невозрастающей) на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы (соответственно ).

Например, функция строго убывает на любом отрезке так как при и эта функция строго возрастает на так как при

Локальный экстремум

Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности.

Определение 2.Говорят, что функция достигает в точке локального максимума, если существует такое, что выполняется неравенство . Если при указанных имеет место противоположное неравенство то говорят, что в точке функция достигает в точке локального минимума.

Заметим, если неравенства или обращаются в равенство лишь в одной точке то говорят, что соответствующий максимум или минимум является строгим. Точки в которых функция достигает локального максимума или минимума, называются точками локального экстремума этой функции.

Замечание 2.Слово “локальный” здесь означает, что введённое понятие экстремума верно лишь в достаточно малой окрестности точки Иногда слово “локальный” будем опускать.

Необходимое условие экстремума.Пусть в точке функция достигает локального экстремума. Тогда либо в этой точке функция дифференцируема и тогда либо не дифференцируема в точке

Замечание 3.Точки такие, что либо равна нулю, либо не существует (или равна ), называтся критическими точками функции

Если точка локального экстремума функции то она обязательно для неё критическая. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Например, для функции производная но в точке эта функция не имеет экстремума. Как проверить, что в критической точке достигается экстремум? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума по первой производной).Пусть точка критическая точка для функции и функция непрерывна в этой точке. Пусть, кроме того, производная существует в некоторой проколотой окрестности точки Тогда:

1. если при переходе аргумента через точку (слева направо) изменяет знак с на то в точке функция достигает локального максимума;

2. если при переходе аргумента через точку (слева направо) изменяет знак с на то в точке функция достигает локального минимума;

3. если в окрестности точки функция не изменяет знака, то в точке функция не достигает локального экстремума.

Доказательство.Действительно, если то функция возрастает на отрезке и, значит, для всех из указанного отрезка. С другой стороны, так как то функция убывает на отрезке и, значит, снова для всех из указанного отрезка. Следовательно, при всех выполняется неравенство т.е. точка является точкой локального максимума. Аналогично доказываются утверждения 2 и 3. Теорема доказана.

Например, рассмотренная выше функция имеет в точке минимум, так как при переходе через критическую точку изменяет знак с минуса на плюс. Другие достаточные условия экстремума с помощью высших производных будут даны позже. А сейчас приведём схему построения графика функции

с помощью первой производной. Сделаем это для конкретной функции Напомним сначала информацию о вычислении асимптот.

Если то прямая вертикальная асимптота для функции Если существуют конечные пределы

то прямая асимптота кривой Таким образом, асимптоты функции

могут возникнуть при подходе к точкам разрыва второго рода этой функции либо на бесконечности.

Схема построения графика функции с помощью первой производной.

1. Находим область определения функции

2. Находим (если это возможно) нули функции и её интервалы знакопостоянства. Этот пункт мы опускаем, так как не можем точно решить уравнение (его приближенный корень равен 1.1478).

3. Находим точки разрыва функции и её асимптоты.

а) вертикальные асимптоты: так как

наклонных и горизонтальных асимптот нет, так как один из выписанных ниже пределов бесконечен:

4. Находим производную и исследуем функцию на монотонность и локальные экстремумы. Имеем

Итак, критические точки. Применяя метод интервалов, будем иметь:

Значит, в точке производная изменяет знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет локальный максимум, равный приближённо По полученной информации строим график функции Он буде иметь вид, указанный на рисунке выше. Чтобы закрепить на навыки, постройте график

(см. рисунок слева).