Частные случаи расположения плоскостей.
Параллельные прямые.
Из 4-го инвариантного свойства параллельного проецирования следует что:
( a,b)(a
b)
[(a1
b1)
(a2
b2)
(a3
b3)] (1)
Для определения, параллельны ли прямые общего положения, достаточно определить параллельность из двух проекций:
[(a1 b1)
(a2
b2)]
(a3
b3) (2)
Если прямые параллельны какой либо плоскости проекций, то условие (2) может не выполняться. В этом случае левая часть (2) является только необходимым, но недостаточным условием. Вопрос о параллельности решается на плоскости, которой прямые параллельны.
![]() | Прямые параллельны. |
![]() | Прямые не параллельны. |
Пересекающиеся прямые.
Из 3-го инвариантного свойства параллельного проецирования следует что:
(l m=A)
(l1
m1=A1)
(l2
m2=A2)
(l3
m3=A3) (3)
Если прямые пересекаются в пространстве, то их одноимённые проекции пересекаются, причём точка пересечения проекций лежит на одной линии связи.
![]() |
Если одна из прямых профильная, то вопрос о пересечении прямых решается на профильной плоскости проекций, причём прямые пересекаются, если точки пересечения фронтальной и профильной проекций лежат на одной линии связи.
Скрещивающиеся прямые.
Если условия (1) и (3) не выполняются, то прямые скрещиваются. Или, если прямые скрещиваются в пространстве, то их одноимённые проекции пересекаются, но точки пересечения проекций лежат не на одной лини связи
![]() | Точки 1 и 2 принадлежат 2-м разным прямым, удалённым от плоскости V на разные расстояния, аналогично точки 3 и 4 удалены от плоскости H на разные расстояния. a ![]() |
![]() | a ![]() |
7. Проецирование прямого угла.
Теорема: Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости.
([AB] [BC])
([AB]
,[BC]
)
[A
B
]
[B
C
]
![]() | Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость .
[AB] [A
B
]
[BC] [B
C
]
Фигура ABB A
- прямоугольник, следовательно [AB]
плоскости BCC
B
, так как он перпендикулярен двум пересекающимся прямым этой плоскости (AB
BC по условию и AB
BB
по построению).
Но AB A
B
, следовательно A
B
A
B
плоскости BCC
B
, поэтому A
B
B
C
,
т.е. A
B
C
=90
.
Обратное утверждение также верно.
По Гордону:
![]() | Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пусть [BC]
=C
Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость .
[AB] [A
B
]
[BC] [B
C
]
Проведём [DC] [A
B
]
[DC]
[AB], поэтому
BCD=90
На основании теоремы о 3-х перпендикулярах: ( B
CD=90
)
(
BCD=90
)
A
B
C=90
.
Верно также обратное утверждение. Эту теорему применяют при решении задач на определение расстояния от точки до прямой частного положения.
Пример:
![]() | Дана горизонталь h и точка С. Надо опустить перпендикуляр из точки C на прямую h. Перпендикуляр из точки C к прямой h образует угол 90 ![]() ![]() |
III ПЛОСКОСТЬ
Плоскость - простейшая поверхность (1-го порядка).
1. Плоскость, её задание на чертеже.
Положение плоскости в пространстве может быть задано:
- Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
2. Прямой и точкой вне прямой.
3. Двумя прямыми, пересекающимися в несобственной точке (пересекающимися или параллельными).
Соответственно и на чертеже (эпюре) плоскость может быть задана аналогично.
Задание плоскости на чертеже производится проекциями этих же геометрических элементов. Кроме того, плоскость может быть задана также проекциями отсека плоской фигуры (Ф).
Иногда целесообразно задать плоскость не произвольными пересекающимися прямыми, а прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Эти прямые называют следами плоскости, а такой вариант задания плоскости называют методом задания плоскости следами.
Примеры задания плоскости:
![]() | Тремя точками |
![]() | Точкой и прямой |
![]() | Пересекающимися прямыми |
![]() | Параллельными прямыми |
![]() | Отсеком плоскости |
2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций.
![]() | Плоскость ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Точки:
Px=
x=PH
PV
Py=
y=PH
PW
Pz=
z=PV
PW,
в которых пересекаются два следа, называют точками схода следов.
Плоскость, у которой углы наклона к плоскостям проекций произвольны (не равны 0 или 90
), называют плоскостью общего положения.
![]() | Чтобы построить профильный след плоскости надо найти точки Px, Py и Pz, затем построить Py1 и соединить её с точкой Pz. |
Частные случаи расположения плоскостей.
Кроме рассмотренного общего случая плоскость, по отношению к плоскостям проекций, может занимать следующие частные положения: