Длина дуги в полярных координатах
Лекция 10. Вычисление длин дуг. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений. Вычисление объемов тел вращения. Несобственные интегралы.
Определение 1
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.
Определение 2
Кривая называется гладкой, если она непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую свое положение от точки к точке.
Кривая задана уравнением (1) f’(x) – непрерывна на отрезке [a,b].
Теорема Всякая гладкая кривая (1) имеет определенную конечную длину дуги.
Доказательство
Впишем в данную гладкую кривую (1) ломаную линию
Проектируя звенья
ломаной на ось ОХ, получим разбиение отрезка [a,b] на систему отрезков
. Пусть
- приращение функции y=f(x) на отрезке [a,b]. По теореме Пифагора имеем
. Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим
, где
- некоторая промежуточная точка отрезка
. Отсюда
. Длина всей ломаной линии
(то есть ее периметр) равна
Для нахождения длины L кривой (1) в последнем выражении переходим к пределу при
и
. Таким образом
Получаем предел интегральной суммы для непрерывной функции
Поэтому или
(2), где y’=f’(x)
Дифференциал дуги в прямоугольных координатах
Пусть точка A(a,h) – фиксирована, а точка M(x,y) – переменная. В таком случае длина дуги L=AM есть некоторая функция от х. Согласно (2) имеем Отсюда, используя теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом, получим
и следовательно
, таким образом
- дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Так как
, то
(3). Это теорема Пифагора для бесконечно малого треугольника MTP.
Пример
Вычислить длину дуги отрезка цепной линии. Так называется линия, форму которой принимает тяжелая нить, закрепленная в двух точках. Уравнение линии (4), где а – параметр цепной линии, а>0. Или проще
(4’) – гиперболический косинус.
b – абсцисса точки В; h – ордината точки В.
Дифференцируя уравнение (4’) получаем . Далее
. Тогда
. Согласно формулы (2), имеем
Нахождение длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
Пусть L – длина дуги кривой ,
,
- непрерывно дифференцируемые функции на заданном отрезке.
Формула (3) для дифференциала дуги справедлива и в этом случае dx=x’dt; dy=y’dt. Имеем
Интегрируя последнее выражение в пределах от до t=T получим длину дуги
(5)
Пример
Найти длину дуги окружности, заданной параметрическими уравнениями
от t=0 до t=T
Решение
Здесь dx=-asintdt; dy=acostdt. Поэтому и, следовательно
Пример
Найти длину дуги астроиды
|

Запишем уравнение астроиды в следующем виде . Замена
. Получаем параметрические уравнения астроиды
(6). Кривая (6) симметрична, поэтому находим
при изменении t от 0 до
. Получаем
. Отсюда
. Интегрирую в пределах от t=0 до
, получим
Длина дуги в полярных координатах
Выведем сначала формулу для дифференциала dL дуги в полярных координатах на основании формулы (3)
, где x,y – прямоугольные декартовы координаты точки дуги.
Формулы перехода:
Отсюда , следовательно
или
(1), где
Задача Найти длину дуги L непрерывно дифференцируемой кривой между точками
и
, где
- полярные координаты.
|

Интегрируя равенство (1) в пределах от до
получаем длину дуги в полярных координатах
,где
и
- производная
Пример
Вычислить полную длину дуги кардиоиды
Решение
Имеем , тогда
,отсюда