Свойства сходящихся последовательностей
Лекция 2. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Основные теоремы.
Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство
Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности 
. Используя формулу (2) можно записать 
и 
, где 
, 
- бесконечно малые последовательности. Вычитая, получим 
Так как, все элементы последовательности имеют одно и тоже значение b-a, то по теореме 5 (см. ранее) b-a=0 и b=a. Теорема доказана.
Теорема 2
Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство
Пусть последовательность сходящаяся и а – ее предел. Имеет место формула , - бесконечно малая последовательность. Так как бесконечно малая последовательность 
- ограничена (теорема 3), то 
справедливо 
. Поэтому 
для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности .
Замечание
Ограниченная последовательность может быть и не сходящейся.
Например
1,-1,1,-1,… - ограничена, но не сходящаяся. Если бы последовательность сходилась, то 
и 
- бесконечно малые последовательности и 
была бы бесконечно малой последовательностью, но 
Теорема 3
Сумма сходящихся последовательностей и 
есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и .
Доказательство
Пусть 
и 
. Тогда и 
, соответственно 
. Таким образом, последовательность 
- бесконечно малая, и поэтому последовательность 
сходится и имеет своим пределом a+b.
Теорема 4
Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и . Доказательство аналогичное.
Теорема 5
Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .
Доказательство
Пусть и 
. Тогда и , соответственно
. Но в силу теоремы 4 (для бесконечно малых последовательностей, следствия из него и теоремы 1) 
- бесконечно малая последовательность. То есть 
сходится и ее предел - ab.
Лемма
Если последовательность сходится, то есть 
, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность 
, которая является ограниченной.
Доказательство
Пусть 
. Так как 
. Пусть N – номер, соответствующий этому 
, начиная с которого выполняется неравенство 
. Из этого неравенства следует, что при 
выполняется неравенство 
. Действительно 
Поэтому, при имеем 
. Следовательно, начиная с этого номера N, можно рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.
Теорема 6
Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .
Доказательство
Из леммы следует, что, начиная с некоторого номера N элементы не равны 0 и последовательность - ограничена. Начиная с этого номера, рассмотрим последовательность 
. Пусть и 
.
Докажем, что 
- бесконечно малая последовательность. Так как 
и 
,
то 
. Так как - ограничена, а последовательность 
- бесконечно малая, то последовательность 
- бесконечно малая, то есть 
. Теорема доказана.