Односторонние пределы функции
В приложениях математического анализа встречаются так называемые односторонние пределы.
Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а – число).
Определение 1
1) любой интервал 
, правым концом которого является точка а, называется ее левой окрестностью.
2) любой интервал 
, левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.
Запись 
означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки а, то есть 
Запись 
означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой правой окрестности точки а, то есть 
Определение 2
1) Формула 
, где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а А – число, обозначает, что 
, такая, что |f(x)-A|< 
при 
(1)
2) Формула 
, где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а B – число, обозначает, что 
, такая, что |f(x)-B|< при 
(2)
Для чисел A и B используется следующая символическая запись A=f(a-0), B=f(a+0)
Определение 3
Под окрестностью символа 
понимается любой интервал 
, и под окрестностью символа 
понимается любой интервал 
.
Формулы
и 
(3) интерпретируются таки образом
и 
, где - произвольно, 
и 
Пример 
Имеем 
и 
Замечание
Для существования предела функции f(x) при 
(а – число) необходимо и достаточно выполнение равенства f(a-0)=f(a+0).
Бесконечно малые функции
Определение
Функция 
называется бесконечно малой при (а – вещественное число или символ 
), если 
, что 
.
Это эквивалентно 
(2) или 
(3).
Аналогично определяется бесконечно малая функция при , , 
, 
.
Замечание
Если 
(4), то в силу определения предела функции получаем, что f(x)-A – бесконечно малая функция. Таким образом, из (4) получаем представление функции f(x), имеющей предел А при в виде
(5), где .
Обратно, если для функции f(x) справедлива формула (5), то число А является пределом функции при . Из формулы (5) вытекает важная лемма о сохранении знака функции.
Лемма
Если , то в некоторой окрестности 
знак функции f(x) совпадает со знаком числа А.
Действительно, пусть 
. Выбирая окрестность так, чтобы 
при 
в силу равенства (5) будем иметь
, где 
Sgn x=+1, при x>0
Sgn 0=0
Sgn x=-1, при x<0
Замечание Функция 
в некоторой окрестности по смыслу определения (1) является бесконечно малой при .
Бесконечно большие функции
Определение
Функция f(x) называется бесконечно большой при (а – число или символ 
при (1), если для 
точки a, что |f(x)|>E при 
(2) для всех допустимых значений аргумента х.
Если функция f(x) - бесконечно большая при , то условно пишут
(3)
Пример 
при 
Записи 
и 
соответственно означают
при и 
при
Лемма