Геометрическая интерпретация
Кривая АВ – график функции f(x).
Рассмотрим точку M(x,y). Даем приращение координате х - 
. Тогда ордината y получит приращение 
. Точка M(x,y) займет положение 
.
Пусть С – точка пересечения прямой параллельной ОХ и перпендикуляра M’N’ на ОХ.
Очевидно 
Может случиться, что для некоторого х при стремлении 
точка M’ неограниченно приблизится к М, то есть 
.
В таком случае y=f(x) называется непрерывной при данном значении х.
Определение 2
Функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Используя понятие предела функции, получаем развернутое определение непрерывности функции в точке.
Определение 3
Функция f(x) непрерывна в точке 
тогда и только тогда, когда 
, такое, что 
(4), если 
и 
, 
любое допустимое приращение.
Определение 4
Функция f(x) называется непрерывной на данном множестве Х, если
1) она определена на этом множестве, то есть 
2) непрерывна в каждой точке этого множества, то есть 
справедливо равенство 
(5), где 
Пример
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение
Давая х приращение , получим 
.
Очевидно, каково бы ни было фиксированное значение х, если , то , то есть функция непрерывна при любом 
Определение 5
Точка, в которой нарушается непрерывность функции называется точкой разрыва этой функции. Если 
- точка разрыва функции y=f(x), то возможны два случая:
1) функция f(x) определена при , причем 
при 
2) функция f(x) не определена при и говорить о приращении функции в точке не имеет смысла. В этом случае условимся называть точкой разрыва функции f(x) только тогда, когда функция f(x) определена в непосредственной близости значения 
.
Если можно изменить или дополнительно определить функцию f(x) в точке , то есть выбрать число 
, так, что измененная или дополненная функция f(x) будет непрерывна при , то эта точка называется устранимой точкой разрыва функции f(x).
В противном случае, то есть когда функция f(x) остается разрывной при при любом выборе числа значение называется неустранимой точкой разрыва функции f(x).
Пример 1
Рассмотрим функцию Е(х), равную целой части числа х, то есть, если x=n+q, где n – целое число, 
, то E(x)=n
Так 
Функция Е(х) разрывная при каждом целочисленном значении аргумента х.
Действительно при x=1 и достаточно малом получаем
Отсюда, приняв во внимание, что E(1)=1 получим
Следовательно, приращение функции 
не стремится к нулю при , то есть функция разрывная при х=1. Аналогичное рассуждение можно провести и для x=k, где k -целое.
Пример 2
Функция
не определена при х=2, но имеет смысл для всех значений 
Какое бы значение не приписывали числу f(2), всегда будем иметь 
при . Таким образом, при х=2 при любом выборе значения f(2) при 
, следовательно, эта функция имеет неустранимую точку разрыва при х=2.
В виду важности понятия непрерывности функции приведем другое определение непрерывности функции в точке, эквивалентное, приведенному выше.
Определение 6
Функция f(x) называется непрерывной при 
, если
1) эта функция определена при ;
2) имеет место равенство 
(1).
То есть функция непрерывна в данной точке , тогда и только тогда, когда предел функции при 
равен значению функции в предельной точке. Точка - предельная точка области определения функции f(x).
Для функции, непрерывной на множестве Х, в силу формулы (1) для каждого значения 
выполнено неравенство .
Так как 
, то отсюда получаем 
(2), то есть , если функция непрерывна, то знаки предела и функции перестановочны.
Справедливо усиленное свойство перестановочности функции f(x) и предела, а именно 
- непрерывная функция 
при 
, тогда для f(x) имеем 