Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями

Лекция 6. Понятие о логарифмической производной. Производные высших порядков. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Исследование функций и построение графиков с применением производных.

Производная логарифмической функции

Рассмотрим логарифмическую функцию

. Переходя к пределу при получим . Следовательно . В частности

 

Понятие о логарифмической производной

Рассмотрим сложную функцию

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

Производная от логарифмической функции называется логарифмической производной функции.

Пример

 

Таблица формул дифференцирования

№пп Функция и ее производная

Производная функции, заданной параметрическими уравнениями

 

Зависимость между переменными x,y иногда удобно задавать двумя уравнениями (1), где t – вспомогательная переменная, (параметр). Например, в механике t – время, уравнения (1) – параметрические уравнения траектории движущейся точки.

В общем случае, уравнения (1) определяют y как сложную функцию относительно x. Разрешив первое уравнение системы (1) относительно параметра t (если это возможно), получим функция, обратная к функции .

Далее, исключая из уравнений (1) параметр t, получаем (2). Пользуясь формулой (2) легко найти производную как производную сложной функции.

Кроме того, существует правило для нахождения , не требующее исключение параметра t (параметр невозможно исключить).

Теорема

Если функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями , где - дифференцируемые функции и , то производная этой функции есть (3)

Доказательство

В цепочке равенств , где - обратная функция по отношению к функции , будем рассматривать t как промежуточный аргумент. Тогда, согласно правила дифференцирования сложной функции будем иметь

(4)

Применяя правило дифференцирования обратной функции получим (5). Из (4) и (5) получаем .

В обозначениях Лейбница

Пример

 

Производные высших порядков

Производная f’(x) функции f(x) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Вполне допустимо, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной.

Обозначение

f”(x)=[f’(x)]’

Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка или третьей производной

Обозначение

f”’(x)=[f”(x)]’ и так далее.

- производная n – го порядка.

Пример

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями

Пусть функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями , (1) где - дифференцируемые функции и , . Причем на отрезке функция имеет обратную функцию .

Для первой производной имеет место формула (2).

Для нахождения второй производной дифференцируем по х равенство (2) имя в виду, что t есть функция от х.

или (3)

Аналогичным образом можно найти производные

Пример

Решение

 

Формула Лейбница

На производные высших порядков распространяются общие правила дифференцирования. Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции, то .

Выведем формулу Лейбница, дающую возможность вычислить производную n – го порядка от произведения двух функций, то есть . Для того, чтобы вывести эту формулу найдем сначала несколько производных, а затем установим общий закон, пригодный для вычисления производной любого порядка.

y=uv

…

Закон составления производных сохраняется для производных любого порядка и заключается в следующем:

Надо выражение разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном выражении, заменить показатели степеней для u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени ( , входящие в крайние элементы разложения, надо заменить самими функциями (то есть производными нулевого порядка).

Получаем

- формула Лейбница.

Строгое доказательство этой формулы можно было бы провести методом математической индукции.

Пример

Решение

…

, тогда