![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргументаЛекция 7. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Основные методы интегрирования. Первообразная функция
Пусть f(x) определена на некотором множестве М, которое является конечным или бесконечным интервалом. Определение 1 F(x) называется первообразной для f(x) на множестве М, если она дифференцируема в каждой точке Примеры:
Если F(x) первообразная для f(x), то F(x)+C также первообразная для f(x) (F(x)+C)’=F’(x)=f(x) Теорема Если Доказательство Пусть Замечание: Если F(x) одна из первообразных для f(x) на множестве М, то любая первообразная Ф(х) для f(x) на множестве М представима в виде Ф(х)=F(x)+C, C=const
Определение 2 Совокупность всех первообразных функций для f(x) на множестве М называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
f(x)dx – подынтегральное выражение; f(x) – подынтегральная функция. Если F(x) – одна из первообразных для f(x) на множестве М, то Пример Замечание Если F(x) – первообразная для f(x) на М, то в формуле(1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F(x). Действительно
Основные свойства неопределенного интеграла Свойства вытекают из определения неопределенного интеграла I. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем II. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого. В самом деле пусть Замечание. В формулах (1) и (2) знаки d и III. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. То есть, если Пусть F(x) – первообразная для f(x), тогда в силу определения неопределенного интеграла имеем
IV. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, то есть, если f(x),g(x),h(x) – непрерывны в интервале (a,b), то
Пусть F(x),G(x),H(x) – первообразные соответственно функций f(x),g(x),h(x), то есть F’(x)=f(x), G’(x)=g(x), H’(x)=h(x)
Таблица простейших неопределенных интегралов Имеем соотношения Обобщая формулы дифференцирования, получим
Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента Приведенная таблица полностью сохраняет свое значение, если под х (независимая переменная) понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Пусть f(x) непрерывная функция на данном промежутке, F(x)-ее первообразная. Имеем
Таким образом, из справедливости формулы (1) получаем справедливость формулы (5). На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу неопределенных интегралов, то есть
u – любая непрерывно дифференцируемая функция от независимой переменной. Выбирая различным образом функцию u можно существенно расширить таблицу простейших интегралов. Пример
Или
Отсюда становится понятной важность умения приводить данное дифференциальное выражение f(x)dx к виду f(x)dx=g(u)du, где u – функция от x, и g(u) более простая для интегрирования функция, чем f(x). Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для вычисления неопределенных интегралов: 1) 2) 3) 4) 5) sinxdx=-d(cosx) 6) cosxdx=d(sinx) В общем случае f’(x)dx=d(f(x)) Примеры 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. |