Править]Алгебраические свойства векторного произведения

Представление	Описание
	свойство антикоммутативности
	свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр
	свойство дистрибутивности по сложению
	тождество Якоби, выполняется в и нарушается в

	формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа
	Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов
	значение этого выражения называют смешанным произведением векторов , , и обозначают либо

№12

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

Свойства

· Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

· Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

· Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:

В частности,

· Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.

· Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

· Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

· Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими^[1]:215.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

· Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

№13

2.1. Определители второго порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 2 × 2

a11 a12

a21 a22

(2.1)

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице (2.1),

называется число, равное a11a22 − a12a21 и обозначается как

a11 a12

a21 a22

Таким образом, по определению

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21 (2.2)

Элементы., составляющие матрицу данного определителя, называются элемен-

тами этого определителя.

Покажем, что для того, чтобы определитель второго порядка был равен

нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или столбцов) были

пропорциональны.

Действительно, каждая из пропорций a11/a21 = a12/a22 и a11/a12 = a21/a22

эквивалентна равенству a11a22 − a12a21 = 0, а последнее равенство в силу (2.1)

эквивалентно обращению в нуль определителя.

2.2. Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 3 × 3



a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



(2.3)

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (2.3),

называется число равное

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 (2.4)

и обозначаемое символом

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33