Метод билинейного преобразования
Лабораторная работа №3
по курсу
«Теория автоматического управления»
«Устойчивость импульсных систем»
Выполнила:
ст. гр. АТ-092
Задыр И.Г
Проверил:
Бобриков С. А.
Одесса, 2012 г.
Цель работы
Цель работы – изучить условия устойчивости импульсных систем и методы исследования импульсных систем на устойчивость; выявить параметры влияния системы на устойчивость
Краткие теоретические сведения
- методы исследования импульсных систем на устойчивость;
- понятие о решетчатых функциях и дискретном преобразовании Лапласа;
- определение дискретной передаточной функции и характеристического уравнения;
- метод билинейного преобразования;
Условия устойчивости
Пусть дискретная передаточная функция замкнутой импульсной системы имеет вид
,
где Y(Z) и G(Z)_- Z-изображения выходной и входной величин.
Уравнение замкнутой системы в Z-изображениях имеет следующий вид:
.
Разделив все уравнение на Z в старшей степени (Zm), и перейдя от Z-изображений к оригиналам, получим конечно-разностное уравнение замкнутой системы:
.
Решение этого уравнения в общем виде равно сумме:
.
Первое слагаемое yc[n] соответствует свободному движению системы, при отсутствии внешнего воздействия. Второе слагаемое yв[n] определяется внешним воздействием. Система устойчива, если yc[n]®0 при n®¥.
Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения имеет следующий вид:
(9)
где Zi (i=1,2,…m) – корни характеристического уравнения
Сi – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий.
Из (9) следует, что yc[n]®0 при n®¥, если все корни характеристического уравнения по модулю меньше единицы: 
.
Это же условие устойчивости можно получить, если рассматривать корни Pi.
Действительно, 
. Чтобы система была устойчивой необходимо, чтобы все корни Zi по модулю были меньше единицы, а это значит, что все корни Pi были бы “левыми”. В плоскости корней Р границей устойчивости является мнимая ось. Подставим в выражение для Zi P=jw : 
. Будем изменять w от -¥ до +¥. При этом в плоскости корней Pi будет пройдена граница устойчивости и область устойчивости расположена слева по ходу движения.
В плоскости корней Zi при этом будет описана окружность с радиусом, равным единице и с центром в центре координат (рис.1.16). При этом область устойчивости расположена слева по ходу от границы устойчивости, т.е. внутри окружности единичного радиуса.
Отсюда следует необходимое и достаточное условие устойчивости импульсной системы:
| Рис.1.16 |
Метод билинейного преобразования
Для определения устойчивости импульсной системы на практике обычно не вычисляются корни характеристического уравнения, а используется преобразование, позволяющее использовать критерии устойчивости непрерывных систем при исследовании импульсных систем. Преобразование получило название v-преобразование или билинейное преобразование.
Суть этого преобразования сводится к следующему. Вводят новую переменную, которая связана с переменной Z следующим равенством:
.
Выразим из последнего уравнения v и подставим Z=e jwT:
Итак, имеем:
.
Переменная v является мнимой величиной, изменяющейся от -¥ до +¥ при изменении w в интервале от -p/Т до +p/Т.
| Рис.1.17. |
В плоскости 
областью устойчивости является круг единичного радиуса с центром в центре координат (рис.1.17). Этой окружности (граница устойчивости) в плоскости n соответствует вся мнимая ось, что подобно границе устойчивости в плоскости корней характеристического уравнения непрерывной системы. Отсюда следует, что сделав такое преобразование, можно затем использовать все критерии устойчивости, разработанные для непрерывных систем.
Рассмотрим систему второго порядка. Пусть характеристическое уравнение замкнутой импульсной системы имеет вид: 
.
Сделаем подстановку :
После преобразований получим
.
По отношению к переменной v нужно рассматривать систему как непрерывную. Для непрерывной системы второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, т.е. условие устойчивости сводится к следующим неравенствам:
A-B+C>0;
A-C>0;
A+B+C>0.
Пример. Структурная схема системы приведена на рис.1.18. Импульсное звено вырабатывает импульсы со скважностью g=1. Передаточная функция непрерывной части равна
| Рис.1.18. |
.
Исследуем данную систему на устойчивость.
Дискретная передаточная функция замкнутой системы найдена ранее (лекция 3, пример2). Характеристическое уравнение замкнутой системы получим, если приравняем нулю знаменатель передаточной функции
.
Имеем: 
Условия устойчивости:
Методические указания. Следует твердо усвоить, что необходимым и достаточным условием устойчивости импульсной системы является то, что все корни характеристического уравнения должны быть по модулю меньше единицы. При этом вещественная часть корней, в отличие от условия устойчивости непрерывной системы, может быть и положительной. Например, Zi=0,8+j0,5. 
, что не противоречит условию устойчивости.
Для системы, порядок которой выше 2, метод билинейного преобразования является наиболее удобным в практических расчетах.
Порядок выполнения работы
Рисунок 1 – Схема набора модели системы в пакете simulink (вар. 1).
Рисунок 2 - График работы системы при 
= 4,174
Рисунок 3 - График работы системы при 
Рисунок 4 - График работы системы при 
Вывод: на лабораторной работе мы изучили условия устойчивости импульсных систем и исследования импульсных систем на устойчивость; выявили влияние параметров системы на устойчивость.