Динаміка обертального руху. Закон збереження моменту імпульсу
1 Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі
,
де M - момент сили, що діє на тіло; L - момент імпульсу тіла;
,
де 
- радіус-вектор; 
- імпульс тіла.
У випадку, коли момент інерції 
незмінний,
,
де ε – кутове прискорення.
2 Момент імпульсу тіла, що обертається відносно деякої осі,
.
3 Момент сили F, що діє на тіло відносно осі обертання,
,
де l – плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.
4 Момент інерції матеріальної точки
,
де m - маса точки; r - відстань до осі обертання.
Момент інерції твердого тіла
,
де ri - відстань елемента маси Δmi від осі обертання.
Це співвідношення в інтегральній формі
.
Моменти інерції деяких тіл наведені в таблиці 1.
Якщо тіло однорідне, тобто його густина ρ однакова по всьому об’єму, то
і 
,
де V - об’єм тіла.
Теорема Штейнера. Момент інерції відносно довільної осі дорівнює
,
де J0 – момент інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр тяжіння тіла паралельно заданій осі; a – відстань між осями; m – маса тіла.
Таблиця 1 – Моменти інерції деяких тіл
| Тіло | Вісь, відносно якої визначається момент інерції | Формула для моменту інерції |
| Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l | Проходить через центр тяжіння стрижня перпендикулярно до нього | 
|
| Проходить через кінець стрижня перпендикулярно до нього | 
| |
| Тонке кільце, обруч, труба радіусом R і масою m, маховик радіусом R і масою m, розподіленою вздовж обода | Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи | 
|
| Круглий однорідний диск (циліндр) радіусом R і масою m | Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи | 
|
| Однорідна куля масою m і радіусом R | Проходить через центр кулі | 
|
5 Закон збереження моменту імпульсу для ізольованої системи
.
Для двох взаємодіючих тіл закон збереження моменту імпульсу запишеться так:
,
де 
– моменти інерції і кутові швидкості тіл до взаємодії; 
– ті самі величини після взаємодії.
Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла із змінним моментом інерції
,
де J1 і J2 – початковий і кінцевий моменти інерції; ω1 і ω2 – початкова і кінцева кутова швидкість тіла.
6 Робота сталого моменту M сили, що діє на тіло, яке обертається,
,
де φ - кут повороту тіла.
7 Миттєва потужність, що розвивається при обертанні тіла,
.
8 Кінетична енергія тіла, що обертається,
.
9 Кінетична енергія тіла, що котиться по площині без ковзання,
,
де 
- кінетична енергія поступального руху тіла; υ – швидкість центра інерції тіла; 
- кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.
10 Зв’язок між роботою, що здійснюється при обертанні тіла і зміною кінетичної енергії,
.
11 Зв’язок між величинами, що характеризують поступальний і обертальний рух, наведений у таблиці 2.
Таблиця 2- Порівняння законів, що описують поступальний та обертальний рух
| Поступальний рух | Обертальний рух |
| Основний закон динаміки | |
|
|
|
|
| Закон збереження | |
| імпульсу | моменту імпульсу |
|
|
| Робота і потужність | |
| 
|
| 
|
| Кінетична енергія | |
|
|
12 Механічна напруга при пружній деформації тіла
,
де F - сила, що розтягує або стискає тіло; S - площа поперечного перерізу тіла.
Відносне повздовжнє розтягування (стиснення)
,
де 
– зміна довжини тіла при розтягуванні (стисненні); 
- довжина тіла до деформації.
Закон Гука для повздовжнього розтягування (стиснення)
,
де 
- модуль Юнга.
5 Механіка рідин
1Витрата рідини в трубці струму:
а) об’ємна витрата 
;
б) масова витрата 
, де S – площа перерізу трубки струму; 
– швидкість рідини; ρ – її густина.
2 Рівняння нерозривності струменя
.
3 Рівняння Бернуллі для ідеальної нестисливої рідини в загальному випадку
,
де Р1 і Р2 – статичні тиски у двох перерізах трубки; 
і 
– швидкості рідини в цих перерізах; 
і 
- динамічні тиски рідини в цих перерізах; h1 і h2 – їх висота над деяким рівнем; 
і 
- гідростатичні тиски.
Якщо обидва перерізи розміщені на одній висоті, рівняння Бернуллі буде мати такий вигляд:
.
4 Швидкість витікання ідеальної рідини з малого отвору у відкритій широкій посудині
,
де h – глибина, на якій міститься отвір відносно рівня рідини в посудині.
5 Формула Пуазейля. Об’єм рідини або газу, що проходить за час t через довгу трубку, дорівнює
,
де r - радіус трубки; l - її довжина; ΔР - різниця тисків на кінцях трубки; η - динамічна в’язкість (коефіцієнт внутрішнього тертя) рідини.
6 Число Рейнольдса для потоку рідини в довгих трубках
і для руху кульки у рідині
,
де < > - середня швидкість рідини; – швидкість кульки; d – діаметр трубки або діаметр кульки.
Якщо Re<<Reкр – течія рідини ламінарна, Re>>Reкр – рух рідини переходить у турбулентний. Reкр – критичне число Рейнольдса; для руху кульки в рідині Reкр = 0,5; для потоку рідини Reкр = 2300.
7 Формула Стокса. Сила опору F, що діє з боку рідини на кульку, яка рухається з невеликою швидкістю, дорівнює
,
де r – радіус кульки; – її швидкість. Формула справедлива для швидкостей, для яких Re<<1.
Рівняння газу
1 Рівняння стану ідеального газу (рівняння Клапейрона - Менделєєва)
, або 
,
де m – маса газу; m – молярна маса; R – універсальна газова стала; 
- кількість речовини; T – термодинамічна температура.
2 Закон Дальтона
,
де Р – тиск суміші газів; Рi – парціальний тиск і-ї складової суміші; n – число складових суміші.
3 Молярна маса суміші газів
.
4 Масова частка і-ї складової суміші
,
де 
- маса і-ї складової суміші; m – маса суміші.