Неразвертывающиеся, или косые поверхности.
других линейчатых поверхностей.
Примечание. Все нелинейчатые поверхности являются неразвертывающимися. Рассмотрим несколько наиболее характерных разновидностей тех и
Линейчатые поверхности с одной криволинейной направляющей называются торсами, а криволинейная направляющая таких поверхностей − ребром возврата.
Поверхностью с ребром возврата (торсом) называют поверхность, описываемую движением прямой − образующей, касающейся некоторой пространственной кривой − направляющей. Торсы являются поверхностями развертывающимися.
Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов.
.
Рис. 7.9. Поверхность с ребром возврата Рис. 7.10. Коническая поверхность
Очевидно, что все многогранные поверхности являются развертывающимися.
Из кривых поверхностей этим свойством обладают только те линейчатые поверхности, которые имеют ребро возврата.
.
Рис. 7.11. Цилиндрическая поверхность
Существует только три вида линейчатых поверхностей, имеющих ребро возврата: торсы, конические и цилиндрические (Рис. 7.9 − 7.11) .
Необходимо отметить, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).
7.3. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности
Неразвертывающиеся линейчатые поверхности в общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям, которые однозначно задают закон ее перемещения (рис. 7.12).
Направляющие линии могут быть кривыми и прямыми. Общий случай линейчатой поверхности, как множества образующих прямых, пересекающих три заданные пространственные кривые показан на рис. 7.13.
.
.
Разновидностями косых поверхностей являются линейчатые поверхности с направляющей плоскостью и частные их виды − линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).
В первом случае поверхность однозначно задается двумя направляющими линиями и направляющей плоскостью, которая заменяет третью направляющую линию. Образующая прямая скользит по двум направляющим и сохраняет постоянный угол α с некоторой плоскостью 
, которая называется направляющей. В частном случае, если угол равен нулю, образующая прямая будет параллельна направляющей плоскости, которая в этом случае называется плоскостью параллелизма.
Поверхности с направляющей плоскостью (α 
0) называются косыми цилиндроидами, если обе направляющие являются кривыми линиями; косыми коноидами - если одна из направляющих − прямая линия; дважды косой плоскостью, если направляющие − скрещивающиеся прямые.
Дважды косой цилиндроид, как линейчатая поверхность с тремя направляющими, из которых две пространственные кривые и одна прямая показан на рис. 7.14.
На рис. 7.15. показан дважды косой коноид, образованный перемещением образующей прямой (красная) по трем направляющим, из которых две прямые. Показано построение одной образующей, как результата пересечения вспомогательной плоскости, проходящей через одну из прямолинейных направляющих, с двумя другими направляющими.
.
Рис. 7.14. Дважды косой цилиндроид
.
Рис. 7.15. Дважды косой коноид
Вопросы для самоконтроля
1. Как рассматриваются поверхности в начертательной геометрии?
2. Приведите краткую классификацию поверхностей, приняв за критерии классификации: а) вид образующей; б) характер перемещения образующей.
3. Что такое определитель поверхности? Что такое очерк поверхности?
4. Что значит «задать поверхность на чертеже»?
5. Сформулировать признак принадлежности точки поверхности.
6. Приведите примеры использования различных поверхностей в технике, науке, искусстве и других видах деятельности человека.
Лекция 8. Позиционные задачи на поверхности
8.1. Пересечение поверхности плоскостью
8.2. Конические сечения
8.3. Взаимные пересечения поверхностей
8.1. Пересечение поверхности плоскостью
Определение взаимного положения плоскости и поверхности – позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательных секущих плоскостей используются проецирующиеся плоскости – плоскости перпендикулярные плоскостям проекций, поэтому основу метода вспомогательных секущих плоскостей составляет алгоритм решения задачи по нахождению линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью.
Особое место занимают задачи по нахождению линии пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от положения секущей плоскости линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола, гипербола.
Для определения проекции линии сечения следует найти проекции точек, принадлежащих этой линии в следующем порядке:
1) проекции опорных точек – точек расположенных на очерковых образующих поверхности (эти точки определяют границы видимости проекции кривой);
2) проекции экстремальных точек, удаленных на минимальные и максимальные расстояния от плоскостей проекций;
3) проекции произвольных (промежуточные) точек линии сечения.
В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая, поэтому к рассмотрению предлагается пример пересечения поверхности проецирующей плоскостью
Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскостиП1и П3в виде эллипса, а на плоскость П2 в прямую линию ограниченную очерком сферы.
Охарактеризуем выбранные для построения точки:
1, 8 – две вершины эллипса, определяющие положение малой оси на горизонтальной и профильной проекциях, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы. Эти точки являются соответственно высшей и низшей точками сечения.
2, 3 – фронтальные проекции этих точек лежит на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П3.
4, 5 – две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α.
.
а
.
б
Рис. 8.1. Изображение пересечения поверхности сферы проецирующей плоскостью: а − изображение в пространстве; б − изображение на комплексном чертеже
6, 7 – фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П1.
Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на ней отмечаем точки 12…82.Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β- горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 22, 32 проведем след плоскости β12, на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β1 и сферы будет окружность m11, а точки 21 и 31 лежат на этой окружности по линии связи (в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 11 и 81 , которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П1. Построенные точки 11…81 соединим плавной кривой линией с.
Особое место занимают задачи по нахождению линии пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от положения секущей плоскости линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола.
8.2. Конические сечения
В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола и окружность а в частных случаях: прямая, две пересекающиеся прямые и точка (рис. 8.3).
.
.
Рассмотрим некоторые примеры пересечения конуса плоскостью.
Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс (рис. 8.3 а). В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.
Если плоскость Ф параллельна основанию поверхности конуса, то линией пересечения является окружность (рис. 8.3.б).
.
a
.
б
.
в
.
г
Рис. 8.3. Изображение линии сечения поверхности конуса плоскостью: а – эллипса; б – окружности; в – параболы; г – гиперболы
Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола (рис.8.3.в). В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую.
Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ<α, то линией сечения является гипербола (рис. 8.3. г). В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые.
8.3. Взаимные пересечения поверхностей
Построение линии пересечения поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей. При этом данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линии пересечения.
Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных плоскостей. Если используются сферы − способом вспомогательных сфер. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения цилиндра с конусом вращения (рис.8.4).
Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают цилиндр и конус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.
Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения − окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром.
.
Рис. 8.4. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра с помощью вспомогательных секущих плоскостей
Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях:
- обе линии пересекающиеся поверхности − поверхности вращения;
-оси поверхностей вращения пересекаются;
- точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;
- плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций.
В случае, если это условие не соблюдается, то, чтобы его обеспечить, прибегают к способам преобразования чертежа.
Такие сферы применяют, если:
- одна из пересекающихся поверхностей - поверхность вращения, другая поверхность имеет круговые сечения;
- две поверхности имеют общую плоскость симметрии (т. е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений второй поверхности принадлежат одной плоскости - плоскости их симметрии);
.
Рис. 8.5. Пример построения линии пересечения поверхностей конусов с помощью концентрических сфер
Плоскость симметрии параллельна плоскости проекций (это условие при необходимости может быть обеспечено преобразованием чертежа).
Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и тора, оси которых скрещиваются с помощью эксцентрических сфер (рис. 8.6).
Ось конуса параллельна плоскости П2, ось тора перпендикулярна плоскости П2, окружность центров осевых круговых сечений тора и ось конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости П2. Две очевидные характерные точки: высшая с проекцией а2 и низшая d2 - являются точками пересечения проекций очерков тора и конуса. Для построения проекций промежуточных точек, например проекции b2, выполняют следующие построения: выбирают на поверхности тора окружность, например с проекцией 12 22 с центром в точке с проекцией 32.
.
Рис. 8.6. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и тора с помощью эксцентрических сфер
Перпендикуляр к плоскости этой окружности из точки с проекцией 32 является линией центров множества сфер, которые пересекают тор по окружности с проекцией 12 22. Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси конуса. Его проекция О1. Эта сфера радиусом R1 пересекает конус по окружности с проекцией 42 52. Пересечение проекций 12 22 и 42 52 является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция b2 одной из указанных точек - точки на видимом участке линии пересечения.
Построение проекций второй пары точек линии пересечения, из которых обозначена проекция c2, выполнено с помощью отрезка 62 72 − проекции окружности на поверхности тора. Вспомогательная сфера для построения проекции c2 − сфера радиусa R2 с центром, проекция которого О2. Конус эта сфера пересекает по окружности с проекцией 82 92. В пересечении проекций 62 72 и 82 92 окружностей находим проекцию c2 искомой точки и симметричной ей на невидимой части пересекающихся поверхностей.
Вопросы для самоконтроля
1) От каких параметров поверхности и плоскости зависит форма линии пересечения поверхности с плоскостью?
2) Каков алгоритм (порядок) определения линии пересечения поверхности плоскостью?
3) Какое положение плоскости пересечения по отношению к поверхности является предпочтительным для определения линии пересечения?
4) Какой способ построения линии пересечения называется способом вспомогательных сфер?
5) В каком случае при определении линии пересечения применяются концентрические (эксцентрические) сферы?
6) Какой способ построения линии пересечения необходимо применить, если две поверхности имеют общую плоскость симметрии?
7) Приведите пример определения линии пересечения поверхностей с помощью эксцентрических сфер.
Лекция 9. Построение разверток
9.1. Основные понятия и свойства
9.2. Построение разверток многогранников
9.3. Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей
9.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей
9.1. Основные понятия и свойства
Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. При этом исходим из представления поверхности как гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки. Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и кривые линейчатые поверхности с ребром возврата: торсы, конические и цилиндрические.
Линейчатые косые и нелинейчатые поверхности этим свойством не обладают. Существуют различные способы построения их условных разверток при помощи аппроксимации.
.
Рис. 9.1. Развертка поверхности
Плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой (рис. 9.1). Между поверхностью и ее разверткой существует взаимно-однозначное точечное соответствие (точке А на поверхности соответствует точка А' на развертке, и наоборот), обладающее следующими свойствами (рис. 9.1):
1) длина участка АВ линии l на поверхности равна длине участка А'В' соответствующей ей линии l на развертке;
2) угол α между кривыми m и n на поверхности равен углу α’ между соответствующими им кривыми m' и n' на развертке (углом между кривыми называется угол между касательными к ним в точке пересечения);
3) площадь отсека F поверхности равна площади соответствующего ему отсека F' развертки.
В дифференциальной геометрии доказывается, что второе и третье свойства являются следствием первого. Первое свойство вытекает из представления поверхности как гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки.
Из рассмотренных свойств следует:
1) прямой линии (a) на поверхности соответствует прямая (а') на развертке;
2) прямым, параллельным (а 
b) на поверхности, соответствуют прямые, параллельные (a' b') на развертке.
Однако оба указанных свойства обратной силы не имеют, т. е. не всякой прямой на развертке соответствует прямая на поверхности. Примерами этого могут служить цилиндрическая винтовая линия, параллели поверхности вращения.
Если кривой линии, принадлежащей поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта кривая линия является геодезическойдля данной поверхности.
Геодезической называется линия, принадлежащая поверхности и соединяющая кратчайшим путем две точки, также принадлежащие поверхности.
9.2. Построение разверток многогранников
Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при совмещении всех его граней с плоскостью. Следовательно, построение развертки многогранника сводится к построению истинных величин его граней. Выполнение этой операции связано с определением натуральных величин его ребер, которые являются сторонами многоугольников – граней, а иногда и некоторых других элементов. Ребра многогранника условно разделяются на боковые и стороны основания. Существуют три способа построения разверток многогранных поверхностей:
1) способ треугольников (триангуляции);
2) способ нормального сечения;
3) способ раскатки.