Построение развертки сферы
Сферическая поверхность является неразвертывающейся. Существующие методы построения ее развертки дают лишь приближенные результаты.
Сущность одного из них заключается в том, что элемент сферической поверхности заменяется элементом цилиндрической поверхности касательной к сфере по главному меридиану m. Ось такой цилиндрической поверхности проходит через центр сферы перпендикулярно G2. При этом под элементом сферы понимают часть ее, ограниченную двумя большими окружностями.
Для выполнения построения развертки поверхность сферы:
1) разделить большими окружностями на несколько (например 6) равных частей. Каждый из образовавшихся элементов сферы проецируется на плоскость П1, в виде сектора;
2) описать вокруг сферы цилиндрическую поверхность, ось которой проходит через центр сферы перпендикулярно к П2;
3) заменить элемент сферы частью цилиндрической поверхности. Горизонтальной проекцией этого цилиндрического элемента окажется треугольник А1В1О1, а фронтальной – контур сферы (дуга окружности).
4) для построения развертки цилиндрического элемента (лепестка) разделить его фронтальную проекцию на восемь равных частей;
5) построить горизонтальные проекции образующих, соответствующих точкам деления. Истинные длины отрезков образующих для построения развертки взять с горизонтальной проекции (отрезки А1 В1, С1 D1, E1 F1, G1 H1) а расстояния между ними измерить на фронтальной проекции (расстояния между точками 1222, и 2232);
6) при построении цилиндрического элемента (лепестка) через середину отрезка АВ = А1В1 провести вертикальную ось симметрии лепестка на которой отложить вверх и вниз четыре отрезка 10 –20 = 1222, 20 – 30 = 2232, 30 – 40 = 3242, 40 – 50 = 4252.
7) через точки 20, 30, 40 провести отрезки C0D0 = C1D1, E0F0, G0H0 = G1H1.
8) соединить плавной кривой концы отрезков, в результате чего получится развертка верхней половины лепестка.
При выполнении построения развертки часто возникает необходимость определить положение какой-либо точки на поверхности. Рассмотрим положение точки К на поверхности сферы и перенесем ее изображение на развертку. Это можно выполнить с помощью двух координат дуг S1 и S2. S2 показывает смещение точки К от экватора к полюсу, а дуга S1 − смещение ее от одного из меридианов по параллели сферы. Дуга S2 равна той части меридиана сферы, которая ограничена экватором и параллелью, проходящей через точку К (К2).
.
Рис. 9.6. Построение развертки сферы
Длину этой дуги S2 = К2´М2 нужно откладывать на развертке от экватора соответствующего лепестка по вертикальной оси симметрии.
Строим развертку каждого сектора (лепестка) цилиндрической поверхности. На чертеже (рис. 9.6, в) показана развертка одного из них. Затем ломаная 1 - 3 - 5 - 7... заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки (рис. 9.6, г). Полученная фигура принимается за условную развертку сектора сферы. Полная развертка будет состоять из восьми таких фигур (рис. 9.6, д).
Вопросы для самоконтроля
1. Какие поверхности называются развёртывающимися?
2. Какие поверхности обладают свойством развёртываемости?
3. Какие способы построения условных развёрток вы знаете?
4. Что представляет собой развёртка многогранника?
5. Перечислите, какие способы развёрток гранных поверхностей вы знаете.
6. В чём сущность способа нормального сечения?
7. Какова развёртка кривых развёртывающихся поверхностей?
8. В чём сущность способа раскатки?
9. Как построить условную развёртку неразвёртывающихся поверхностей?
Лекция 10. Плоскости, касательные к поверхности
10.1. Основные положения
10.2. Пример построения касательной к поверхности
10.1. Основные положения
Касательные плоскости имеют большое значение в начертательной геометрии. Наличие касательных плоскостей позволяет определить направление нормали n к поверхности в точке касания М. Решение таких задач находит широкое применение в инженерной практике. С помощью касательных плоскостей выполняют построение очерков геометрических фигур, ограниченных замкнутыми поверхностями.
Прямая линия t, касательная к какой-либо кривой линии g, принадлежащей поверхности, является касательной и к поверхности (Рис. 10.1, а).
Нормалью к поверхности в заданной точке называется прямая, которая перпендикулярна к касательной плоскости τ и проходящая через точку касания (Рис. 10.1, б).
Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке М, есть множество всех прямых − касательных, проведенных к поверхности через данную точку. Через любую точку поверхности можно провести множество кривых, а, следовательно, и множество касательных прямых. Положение плоскости в пространстве определяется двумя пересекающимися прямыми, поэтому для построения касательной плоскости к поверхности в заданной точке достаточно построить касательные к двум кривым линиям, проходящим через эту точку. В качестве таких кривых выбирают наиболее простые линии поверхности. Если данная поверхность является линейчатой, то за одну из таких кривых целесообразно взять прямолинейную образующую (касательная к прямой линии есть сама прямая).
В дифференциальной геометрии доказывается, что все эти касательные прямые располагаются в одной плоскости, которая называетсякасательной плоскостью (τ)к поверхности в данной ее точке (рис. 10.1, б).
Если через точку поверхности можно провести касательную плоскость и при том одну, то точка поверхности называется о б ы к н о в е н н о й, в другом случае − о с о б о й (например, вершина конической поверхности).
Касательная плоскость и кривая поверхность могут занимать различные положения относительно друг друга. При этом общим элементом может быть только элемент касания: либо точка М (рис. 10.1), либо линия (рис. 10.2). Эта линия может прямой (рис. 10.2, а) или кривой (рис. 10.2, б).
При построении касательной плоскости либо указывают точку касания, либо задают другие условия для ее проведения (например: касательная плоскость должна проходить через заданную вне поверхности точку; касательная плоскость должна быть параллельна некоторой прямой и др.).
.
а
.
б
Рис. 10.1. Касательные к поверхности α: а − прямая t , б − плоскость
.
а
.
б
Рис. 10.2. Изображение касательных линий: а − прямая, б − кривая
10.2. Пример построения касательной к поверхности
Рассмотрим на рис. 10.3 пример построения касательной плоскости к поверхности тора α в точке К.
Через точку К проведем две прямые t и t′. Прямая t1 касательная к параллели тора m, которая является окружностью, проходящей через точку К. Прямая t′ касательна к меридиану 
, проходящему через эту точку. Для проведения касательной t′ к меридиану совмещаем его с главным меридианом 
вращением вокруг оси тора. В этом положении к нему через точку 
проводим касательную t′ . Поворот ее в обратном направлении дает искомую линию t′ .На рисунке она определена неподвижной точкой, в которой касательная t′ пересекает ось тора (1≡1), и заданной точкой К.
Прямые t и t′ определяют искомую плоскость τ.
.
Рис. 10.3. Пример построения касательной плоскости к поверхности тора
Вопросы для самопроверки
1. Что называется касательной плоскостью к поверхности?
2. Что называется нормалью?
3. В чём сущность использования касательных?
Библиографический список
1. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. – М.: машиностроение, 1995. – 224 с.
2. Королёв Ю.И. Начертательная геометрия: Учебник для вузов.- СПб.: Питер, 2007. – 252 с.
3. Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии: Учебник для втузот. – 4-е изд. стер. – М.: Высшая школа, 1999. – 104 с.
4. Начертательная геометрия: Учебник для вузов / Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В. И. Николаев, В. Е. Васильев: Под ред. Н. Н. Крылова – 7-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 2001. – 224 с.
5. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1983. – 240 с.
6. Швайгер А.М. Начертательная геометрия. Инженерная графика: Электронное пособие. – Челябинск: Национальный Союз производителей CD-ROM и мультимедиа, 2000.
http://rae.ru/monographs/51