Задачи для подготовки к экзамену по высшей математике
(3-ий семестр, ФИМ, 2011-2012 уч.г.)
I. Кратные, криволинейные интегралы.
1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам: 
Отв. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 
. Отв: 
3. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл 
, где D – область, ограниченная окружностью 
Отв: 
4. Изменить порядок интегрирования: 
5. Вычислить 
, где D – область, ограниченная линиями x=0, x= 
, у=2. Отв: 
6. Найти площадь, ограниченную кривыми 
Отв: 
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
. Отв: 
8. Вычислить 
, если тело V есть шар радиуса R.
Отв: 
9. Вычислить 
, где V ограничена плоскостями х=0,у=0, z=0 и частью сферы 
в первом октанте.
10. Вычислить 
, если тело V ограничено поверхностями 
Отв: 
.
11. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода: 
, где 
. Ответ: 
.
12. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода: 
, где L – правый лепесток лемнискаты 
. Ответ: 
.
13. 
, где АВ – дуга параболы 
от А(1, 1) до В(2, 4). Ответ: 
.
14.Проверить, является ли заданное выражение дифференциалом некоторой функции 
и в случае положительного ответа найти 
с помощью криволинейного интеграла.
;
14. Вычислить: 
.
15. Вычислить 
, где С – верхняя половина эллипса 
, 
, пробегаемая по ходу часовой стрелки.
16. Вычислить работу силового поля 
вдоль первой арки циклоиды 
.
- По формуле Грина вычислить криволинейный интеграл
, взятый по замкнутому контуру 
.
II. Поверхностные интегралы. Теория поля.
1.Вычислить div 
(M) и 
векторного поля 
.
2.Вычислить grad U(M0) и 
в направлении 
:
; 
.
3.Вычислить циркуляцию векторного поля 
по контуру треугольника АВС, где А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1).
4. Найти циркуляцию векторного поля 
вдоль контура L – линии пересечения плоскости х + у + z = 3 c координатными плоскостями.
5.Вычислить поток векторного поля (M)=(Р,Q,R) через внешнюю сторону боковой поверхности 
, если 
; 
6.Вычислить поток векторного поля 
через полную поверхность параболоида 
7.Вычислить поток векторного поля 
через поверхность пирамиды 
8. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал и найти его, если он существует: 
;
III. Числовые и степенные ряды. Тригонометрические ряды Фурье.
1. Исследовать на сходимость, применяя признаки сходимости знакоположительных рядов.
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
з) 
2. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд: а) 
б) 
в) 
г) 
3. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям (решить задачу Коши), с помощью степенного ряда:
а) 
б) 
4. Определить радиус, интервал сходимости и выяснить поведение ряда на концах интервала сходимости: а) 
б) 
5.Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора:
а) 
б) 
6. Вычислить с точностью до 0,001: 
7. Разложить функцию f(x) в тригонометрический ряд Фурье на данном промежутке:
а)
= 
.
б) = 
Экзаменатор ст.преподаватель каф. ВМ Зарипова И.М.