Расчет стандартного отклонения ^ для фона контрольной группы
Испытуемые Число пора- Средняя Отклоне- Квадрат от-женных мише- ние от клонения от ней в серии средней (d) средней (d2)
19 10
15,8 15,8 15,8
-3,2 +5.8 +3,8
10.24 33,64 14,44
15 22 15,8 -6,2 38,44
Сумма (^)d2 = 131,94
131,94
Варианса (s2} = • = 9,42.
Н-1 14 Стандартное отклонение (?) = ^'варианса = л/9,42 == 3,07.
' Формула для расчетов и сами расчеты приведены здесь лишь в качестве иллюстрации В наше время гораздо проще приобрести гакой карманный микрокалькулятор, в котором подобные расчеты уже заранее запрограммированы, и для расчета стандартного отклонения достаточно лишь ввести данные, а затем нажать клавишу s.
О чем же свидетельствует стандартное отклонение, равное 3,07? Оказывается, оно позволяет сказать, что большая часть результатов (выраженных здесь числом пораженных мишеней) располагается в пределах 3,07 от средней, т.е. между 12,73 (15,8 - 3,07) и 18,87 (15,8 + 3,07).
Для того чтобы лучше понять, что подразумевается под «большей частью результатов», нужно сначала рассмотреть те свойсгва стандартного отклонения, которые проявляются при изучении популяции с нормальным распределением.
Статистики показали, что при нормальном распределении «большая часть» результатов, располагающаяся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от средней, в процентном отношении всегда одна и та же и не зависит от величины стандартного отклонения: она соответствует 68% популяции (т.е. 34% ее элементов располагается слева и 34%-справа от средней):
Приложение Б 
Точно так же рассчитали, что 94,45% элементов популяции при нормальном распределении не выходит за пределы двух стандартных отклонений от средней:
и что в пределах трех стандартных отклонений умещается почти вся популяция - 99,73 %.
99.73%
Учитывая, что распределение частот фона контрольной группы довольно близко к нормальному, можно полагать, что 68% членов всей популяции, из которой взята выборка, тоже будет получать сходные результаты, т.е. попадать примерно в 13-19 мишеней из 25. Распределение результатов остальных членов популяции должно выглядеть следующим образом:
Статистика и обработка данных
99,7%
95,4%
68,3%
34,1 % 34,1 % 2,2%
0,13%
13,6%
13,6%
0,13%
6,59 9,66 12,73 15,8 18,87 21,94 25,01
-Id +1(7
-2а +2о
-За +3а
Гипотетическая популяция,
из которой взята контрольная группа (фон)
Что касается результатов той же группы после воздействия изучаемого фактора, то стандартное отклонение для них оказалось равным 4,25 (пораженных мишеней). Значит, можно предположить, что 68% результатов будут располагаться именно в этом диапазоне отклонений от средней, составляющей 16 мишеней, т.е. в пределах от 11,75 (16 — 4,25) до 20,25 (16 + 4,25), или, округляя, 12 — 20 мишеней из 25. Видно, что здесь разброс результатов больше, чем в фоне. Эту разницу в разбросе между двумя выборками для контрольной группы можно графически представить следующим образом:
12,73 15,8 18,87
-la +lo Фон
294 Приложение Б
-1о +1о После воздействия
Поскольку стандартное отклонение всегда соответствует одному и тому же проценту результатов, укладывающихся в его пределах вокруг средней, можно утверждать, что при любой форме кривой нормального распределения та доля ее площади, которая ограничена (с обеих сторон) стандартным отклонением, всегда одинакова и соответствует одной и той же доле всей популяции. Это можно проверить на тех наших выборках, для которых распределение близко к нормальному,-на данных о фоне для контрольной и опытной групп.
Итак, ознакомившись с описательной статистикой, мы узнали, как можно представить графически и оценить количественно степень разброса данных в том или ином распределении. Тем самым мы смогли понять, чем различаются в нашем опыте распределения для контрольной группы до и после воздействия. Однако можно ли о чем-то судить по этой разнице - отражает ли она действительность или же это просто артефакт, связанный со слишком малым объемом выборки? Тот же вопрос (только еще острее) встает и в отношении экспериментальной группы, подвергнутой воздействию независимой переменной. В этой группе стандартное отклонение для фона и после воздействия тоже различается примерно на 1 (3,14 и 4,04 соответственно). Однако здесь особенно велика разница между средними-15,2 и 11,3. На основании чего можно было бы утверждать, что эта разность средних действительно достоверна, т.е.-достаточно велика, чтобы можно было с уверенностью объяснить ее влиянием независимой переменной, а не простой случайностью? В какой степени можно опираться на эти результаты и распространять их на всю популяцию, из которой взята выборка, i. е. утверждать, что потребление марихуаны и в самом деле обычно ведет к нарушению глазодвигатель-ной координации?
На все эти вопросы и пытается дать ответ индуктивная статистика.
Статистика и обработка данных 295
Индуктивная статистика
Задачи индуктивной статистики заключаются в том, чтобы определять, насколько вероятно, что две выборки принадлежат к одной
популяции.
Давайте наложим друг на друга, с одной стороны, две кривые-до и после воздействия-для контрольной группы и, с другой стороны, две аналогичные кривые для опытной группы. При этом масштаб кривых должен быть одинаковым.
Видно, что в контрольной i руппе разница между средними обоих распределений невелика, и поэтому можно думать, что обе выборки прик длежат к одной и той же популяции. Напротив, в опытной группе большая разность между средними позволяет предположить, что распределения для фона и воздействия относятся к двум различным популяциям, разница между которыми обусловлена тем, что на одну из них повлияла независимая переменная.
Проверка гипотез
Как уже говорилось, задача индуктивной статистики- определять. достаточно ли велика разность между средними двух распределений для того, чтобы можно было объяснить ее действием независимой переменной, а не случайностью, связанной с малым объемом выборки (как,
296 Приложение Б
по-видимому, обстоит дело в случае с опытной группой нашего эксперимента).
При этом возможны две гипотезы:
1) нулевая гипотеза (Нд), согласно которой разница между распределениями недостоверна; предполагается, что различие недостаточно значительно, и поэтому распределения относятся к одной и той же популяции, а независимая переменная не оказывает никакого влияния;
2) альтернативная гипотеза (Н^), какой является рабочая гипотеза нашего исследования. В соответствии с этой гипотезой различия между обоими распределениями достаточно значимы и обусловлены влиянием независимой переменной.
Основной принцип метода проверки гипотез состоит в том, что выдвигается нулевая гипотеза Нд, с тем чтобы попытаться опровергнуть ее и тем самым подтвердить альтернативную гипотезу Hi. Действительно, если результаты сгатистического теста, используемого для анализа разницы между средними, окажутся таковы, что позволят отбросить Нд, это будет означать, что верна Нц т.е. выдвинутая рабочая гипотеза подтверждается.
В гуманитарных науках принято считать, что нулевую гипотезу можно отвергнуть в пользу альтернативной гипотезы, если по результатам статистического теста вероятность случайного возникновения найденного различия не превышает 5 из 1001. Если же этот уровень достоверности не достигается, считают, что разница вполне может быть случайной и поэтому нельзя отбросить нулевую гипотезу.
Для того чтобы судить о том, какова вероятность ошибиться, принимая или отвергая нулевую гипотезу, применяют статистические методы, соответствующие особенностям выборки.
Так, для количественных данных (см. дополнение Б.1) при распределениях, близких к нормальным, используют параметрические методы, основанные на таких показателях, как средняя и стандартное отклонение. В частности, для определения достоверности разницы средних для двух выборок применяют метод Стьюдента, а для того чтобы судить о различиях между тремя или большим числом выборок,-тестF, или дисперсионный анализ.
Если же мы имеем дело с неколичественными данными или выборки слишком малы для уверенности в том, что популяции, из которых они взяты, подчиняются нормальному распределению, тогда используют непараметрические методы-критерии у2 (.та-квадрат) для качественных данных и критерии знаков, рангов, Манна-Уитни, Вилкоксона и др. для порядковых данных.
Кроме того, выбор статистического метода зависит от того, являются ли те выборки, средние которых сравниваются, независимыми (т. е., например, взятыми из двух разных групп испытуемых) или зависимыми
__'_Разумеется, риск ошибиться будет еще меньше, если окажется, что эта вероятное гь составляет 1 на 100 или, еще лучше, 1 на 1000
Статистика и обработка данных
(т. е. отражающими результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия или после двух различных воздействий).
Дополнение Б.З. Уровни достоверности (значимости)
Тот или иной вывод с некоторой вероятностью может оказаться ошибочным, причем эта вероятность тем меньше, чем больше имеется данных для обоснования этого вывода. Таким образом, чем больше получено результатов, тем в большей степени по различиям между двумя выборками можно судить о том, что действительно имеет место в той популяции, из которой взяты эти выборки.
Однако обычно используемые выборки относительно невелики, и в этих случаях вероятность ошибки может быть значительной. В гуманитарных науках принято считать, что разница между двумя выборками отражает действительную разницу между соответствующими популяциями лишь в том случае, если вероятность ошибки для этого утверждения не превышает 5%, т.е. имеется лишь 5 шансов из 100 ошибиться, выдвигая такое утверждение. Это так называемый уровень достоверности (уровень надежности, доверительный уровень) различия. Если этот уровень не превышен, то можно считать вероятным, что выявленная нами разница действительно отражает положение дел в популяции (отсюда еще одно название этого критерия-порог вероятности).
Для каждого статистического метода этот уровень можно узнать из таблиц распределения критических значений соответствующих критериев (t, /2 и т. д.); в этих таблицах приведены цифры для уровней 5% (0,05), 1% (0,01) или еще более высоких. Если значение критерия для данного числа степеней свободы (см. дополнение Б.4) оказывается ниже критического уровня, соответствующего порогу вероятности 5%, то нулевая гипотеза не может считаться опровергнутой, и это означает, что выявленная разница недостоверна.
Параметрические методы Метод Стьюдента (^-тест)
Это параметрический метод, используемый для проверки гипотез о достоверности разницы средних при анализе количественных данных о популяциях с нормальным распределением и с одинаковой вариан-сой1.
Метод Стьюдента различен для независимых и зависимых выборок. Независимые выборки получаются при исследовании двух различных
' К сожалению, метод Стьюдента слишком часто используют для малых выборок, не убедившись предварительно в том, что данные в соответствующих популяциях подчиняются закону нормального распределения (например, результаты выполнения слишком легкого задания, с которым справились все испытуемые, или же, наоборот, слишком трудного задания не дают нормального распределения).
298 Приложение Б
групп испытуемых (в нашем эксперименте это контрольная и опытная группы). В случае независимых выборок для анализа разницы средних применяют формулу
| , м,-м, |
| 1 „2 „2 ' /•^.(-^ V«1 Иг |
где М ^- средняя первой выборки;
Мд-средняя второй выборки;
s^ -стандартное отклонение для первой выборки;
s^- стандартное отклонение для второй выборки;
Hi и Ид-число элементов в первой
и второй выборках.
Теперь осталось лишь найти в таблице значений t (см. дополнение Б. 5) величину, соответствующую п — 1 степеням свободы, где и-общее число испытуемых в обеих выборках (см. дополнение Б.4). и сравнить эту величину с результатом расчета по формуле.
Если наш результат больше, чем значение для уровня достоверности 0,05 (вероятность 5%), найденное в таблице, то можно отбросить нулевую гипотезу (Но) и принять альтернативную гипотезу (Нд), т.е. считать разницу средних достоверной.
Если же, напротив, полученный при вычислении результат меньше, чем табличный (для и - 2 степеней свободы), то нулевую гипотезу нельзя отбросить и, следовательно, разница средних недостоверна.
В нашем эксперименте с помощью метода Стьюдента для независимых выборок можно было бы, например, проверить, существует ли достоверная разница между фоновыми уровнями (значениями, полученными до воздействия независимой переменной) для двух групп. При этом мы получим:
,= У5^-15'2^- °'60 =053
/0,62 - 0,66
/3,072 3,172
^ly
Сверившись с таблицей значений t, мы можем прийти к следующим выводам: полученное нами значение t = 0,53 меньше того, которое соответствует уровню достоверности 0,05 для 26 степеней свободы (г| = 28); следовательно, уровень вероятности для такого t будет выше 0,05 и нулевую гипотезу нельзя отбросить; таким образом, разница между двумя выборками недостоверна, т. е. они вполне могут принадлежать к одной популяции.
Сокращенно этот вывод записывается следующим образом:
/ = 0,53; г) = 28; р > 0,05; недостоверно. Однако наиболее полезным г-тест окажется для нас при проверке
' Как уже говорилось, поскольку объем выборок в данном случае невелик, а результаты опытной группы после воздействия не соответствуют нормальному распределению, лучше использовать непараметрический метод, например U-тест Манна-Уитни.
Статистика и обработка данных
гипотезы о достоверности разницы средней между результатами опытной и контрольной групп после воздействия'. Попробуйте сами найти для этих выборок значения и сделать соответствующие выводы:
Значение t ...... чем табличное для 0,05 (..... степеней свободы).
Следовательно, ему соответствует порог вероятности ...... чем 0,05.
В связи с этим нулевая гипотеза может (не может) быть отвергнута. Разница между выборками достоверная (недостоверна?):
(<, =, > ?)0,05; .....
t =
.;Р.
.; П =