Основные показатели вариации. Свойства дисперсии
Основные показатели вариации
А. Размах вариации (R) – разность между максимальными и минимальными значениями совокупности.
(5.1)
Б. Среднее линейное отклонение (d) – это средняя арифметическая абсолютная величина отклонений вариантов от средней арифметической величины.
Для несгруппированных данных:
(5.2)
Для сгруппированных данных:
(5.3)
В нашем примере получим следующие средние линейные отклонения:
В. Дисперсия (σ2) – это средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от средней арифметической величины.
– для несгруппированных данных (5.4)
– для сгруппированных данных (5.5)
Свойства дисперсии
1. Если все варианты увеличить или уменьшить в k раз, то дисперсия увеличится или уменьшится в k раз.
2. Увеличение или уменьшение вариантов на одну и ту же величину не меняет дисперсию.
3. Если все частоты увеличить или уменьшить в несколько раз, то дисперсия не изменится.
4. Дисперсия относительно средней арифметической равна дисперсии относительно произвольной постоянной без квадрата разности между средней арифметической и этой постоянной.
(5.6)
(5.7)
5. Дисперсия равна средней арифметической квадратов вариантов без квадрата средней арифметической.
Если в 4-м свойстве дисперсии с=0, то имеем формулу:
(5.8)
(5.9)
Дисперсию можно рассчитать тремя способами.
Пример: определить дисперсию затрат на 1 руб. реализованных путевок по 30 пансионатам:
| Затраты (х) на 1 руб., коп. | Число пансионатов (f) | 
| 
| 
| 
|
| менее 75 | (70–82)2×5=720 | 702×5=24500 | |||
| 75–85 | |||||
| 85–95 | |||||
| 95 и выше | |||||
| Итого | 30 | – | 1680 | 1800 | 203400 |
Решить можно тремя способами, используя свойства дисперсии.
Способ 1.
. 
Способ 2.
– способ моментов
За число «с» принимается варианта, расположенная в середине ряда распределения, или варианта, имеющая наибольшую частоту (в нашем случае с=80).
.
Способ 3. .
Г. Среднее квадратическое отклонение (s) – это арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:
(5.10)
Отклонение затрат на 1 руб. реализованных путевок от среднего значения составляет 7,48 коп.
Хотелось бы отметить, что отношение среднего квадратического отклонения к среднему линейному приблизительно равно 1,2:
(5.11)
Так, при s=7,48 прогнозируемое значение d=6,23, а реальное (рассчитанное по исходным данным) d=6,00.
Д. Коэффициент вариации (n) – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах:
(5.12)
Он показывает долю колебания признака от средней арифметической. Применяется для сравнения вариаций признака в различных совокупностях и для характеристики колебания различных признаков в одной совокупности.
Коэффициент вариации характеризует также степень однородности совокупности и качества средних величин, т.е. если коэффициент вариации от 0 до 20 %, то совокупность – однородная, если коэффициент вариации – от 20 до 50% – совокупность средней однородности, т.е. необходимо осторожно использовать среднюю, если свыше 50% – совокупность неоднородна, и средней нельзя пользоваться для прогнозирования перспективных показателей признака.
Целесообразно расчет каждой средней величины дополнять расчетом коэффициента вариации для характеристики степени однородности совокупности и оценки качества средней величины. В нашем примере коэффициент вариации составит:
Это означает, что совокупность предприятий по уровню затрат на 1 руб. проданных путевок является однородной. Средней величиной пользоваться можно.
Пример: В течение одного квартала производство продукции в среднем за декаду на заводе № 1 составило 25 млн руб. при n=5 млн руб., на заводе № 2 – соответственно 100 млн руб. и 10 млн руб. Определить, какой завод работал ритмичнее, т.е. с меньшей колеблемостью выпуска продукции по дням?
Для решения задачи необходимо найти коэффициенты вариации выпуска продукции по двум заводам в отдельности и сравнить их.
Второе предприятие работало ритмичнее, так как 