Основные характеристики функции.
1. Функция 
, определенная на множестве 
, называется четной, если 
выполняются условия: 
и 
; нечетной, если выполняются условия: и 
.
График четной функции симметричен относительно оси 
, а нечетной — относительно начала координат.
Например, 
, 
, 
— четные функции; а 
, 
— нечетные функции; 
, 
— функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.
2. Пусть функция определена на множестве и пусть 
. Если для любых значений 
аргументов из неравенства 
вытекает неравенство 
, то функция называется возрастающей
на множестве 
; 
то функция называется неубывающей на множестве ; 
, то функция называется убывающей на множестве , 
, то функция называется невозрастающей на множестве .
Например, функция, заданная графиком (рис. 2), убывает на интервале 
, не убывает на интервале 
, возрастает на интервале 
.
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на и ; монотонна на 
.
3. Функцию , определенную на множестве , называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число 
, что для всех 
выполняется неравенство 
. Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми 
и 
(рис. 3).
4. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число 
, что при каждом значение 
и 
. При этом число 
называется периодом функции. Если — период функции, то ее периодами будут также числа 
, где 
. Так, для периодами будут числа 
; 
; 
, ... . Основной период (наименьший положительный) — это период 
. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству .
Обратная функция.
Пусть задана функция с областью определения и множеством значений 
. Если каждому значению 
соответствует единственное значение , то определена функция 
с областью определения и множеством значений . Такая функция 
называется обратной к функции 
и записывается в следующем виде: 
. Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение 
относительно 
(если это возможно).
Примеры.
- Для функции
обратной функцией является функция 
.
2. Для функции , 
, обратной функцией является 
; заметим, что для функции , заданной на отрезке 
, обратной не существует, т. к. одному значению 
соответствует два значения (так, если 
, то 
, 
) .
Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Сложная функция
Пусть функция 
определена на множестве , а функция 
на множестве , причем для 
соответствующее значение 
. Тогда на множестве определена функция 
, которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).
Переменную называют промежуточным аргументомсложной функции.
Например, функция 
есть суперпозиция двух функций 
и 
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.