Математикалы-экономикалы моделдерді классификациясы
Дріс №4
Экономикалы талдау мен есептеу дістерін жетілдіруде зерттеуді математикалы тсілдерін олдану лкен роль атарады. Баа белгілеу задылытары, нім бірлігіне жмсалатын ебек пен материалдарды толы шыынын зерделеу, салааралы байланыстарды зерттеу, капитал салымыны рентабельділігі, ндірісті орналастыруды тиімділігін анытау, ндірістік процесті отайлы жоспарлау, шектеулі ресурстарды тиімді пайдалану секілді экономикалы проблемалар жне баса да маыздылыы блардан кем емес мселелер математикалы тсілдерді кеінен олдану арылы табысты шешіле алады. Экономикалы-математикалы зерттеу негізінде зерделеніп отыран экономикалы процесті математикалы модельдеу, яни бл процесті санды задылытарын математикалы формулалар кмегімен сипаттау жатыр. Математикалы модельдерді кптеген анытамалары бар. Соларды ішінде, бізді пікірімізше, недуір дрыс болып табылатын біреуін берейік.
Математикалы модель – математикалы символдармен жазылан наты былыс абстракциясы. Оны талдау осы былысты мнін тередей ашуа ммкіндік беретіндей етіп растырылан.
Модельдеу дегенде біз модельдерді рылуын, оларды зерделеу мен олдануды тсінеміз. Модельдеу процесіні мнін сызба трінде 1-суреттен круге болады.
Модельді руды бірінші сатысында ш есепті шешу
ажет:
- зерттеу масатын анытау;
- негізгі шектеулерді айындау;
- зерделеп отыран былысты барлы мдеметтеріні
санды крінісі.
Зерттеу масаты есепті шешуді р трлі нсалары салыстырылатын жне оларды ішінен е здігі тадалып алынатын белгісімен (критерийімен) сипатталады. р алуан экономикалы есептерде мндай критерий ретінде барынша жоары табыс, ндірісті барынша тмен шыындары жне
басалар тадап алынуы ммкін. детте, экономикалы есептер ою барынша тиімді пайдалануды ажет ететін шектеулі ресурстарды бар екендігін
білдіреді. Сондытан зерделеніп отыран мселе шін андай ресурстарды шешуші болып табылатындыын, оларды оры андай екендігін анытау те маызды. Ресурстар бойынша барлы шектеулер арама-айшы болмауы керек. Кейбір шектеулерді есепке алмау алынан шешімні олдануа тиімсіз
болып алуына жне керісінше ресурстар бойынша ата шектеулер ою есепті шешімі аясын тым тарылтып жіберуге келуі ммкін. Бл отайлы шешім табу ммкіндігін жоа шыарады.
Экономикалы есептерді шешуді барлыында да математикалы тсілдер олданыла бермейтінін атап ткен жн. Бл шін ажетті шарт зерделеніп отыран мселені сипаттайтын есептер мен туелдіктерді бастапы деректеріні санды крінісі болып табылады.
Математикалы модельді ру санды мні есепті шешу нсаларыны бірін анытайтын айнымалыларды кейбір сандарын енгізуден басталады. Оларды х, у жне т.б. белгілейді. Отайлылыты тадалып алынан критерийіне сйкес
масатты функция рылады. Содан со математикалы тедік немесе тесіздік трінде осы процесті сипаттайтын зара байланыстар бейнеленеді.
Жалпы трде экономикалы есепті математикалы моделі
мынадай трге ие: 
болан жадайда функцияны экстремумын табу талап етіледі:
Мндай трдегі экстремальды есептерді шешуге экономиканы р алуан есептерін талдау келеді.
Модельдеу процесіні екінші сатысында модель зерттеуді дербес нысанасы ретінде крінеді. Модельдік тжірибелер жргізіледі.
шінші сатыда модель тілінен тпнса тіліне ту жзеге асады. Нтижесінде модельді нысана-тпнсаа барабар еместігі
айындалуы ммкін. Бл жадайда модельді тзету, яни 1 сатыа
ту жргізіледі.
Осылайша, модельдеу – бл циклды процесс, жне ол зерттеліп отыран нысананы жеткілікті дрежеде наты бейнелейтін модель рылана дейін жаласа береді.
Экономикалы есептерді математикалы модельдерін ру лгілері
Мынадай есепті арастырайы.
Кондитерлік фабрика карамельді А, В, жне С ш трін
ндіру шін негізгі шикізатты ш трін пайдаланады: ант
нтаы, сірне жне жеміс езіндісі. Шикізатты р тріні 1 т
карамель ндіруге жмсалатын нормасы 1-кестеде крсетілген.
Онда фабрика пайдаланатын шикізатты р тріні жалпы
саны, сонымен бірге карамельді осы трін сатудан тсетін
табыс келтірілген.
Сатудан барынша жоары табыс тсіретін карамель
ндіруді жоспарын табу керек.
Крініп трандай, бл жадайда модель ру барысында
шешілуі тиіс ш есепті шеуі де шешілді. Длірек айтса, сатудан барынша жоары табыс тсуін амтамасыз ететін карамель ндіру жоспарын анытауа рылан есепті масаты айындалды. Сонымен атар карамельді барлы трлерін ндіруді негізгі ресурстары жне оларды оры аныталды. шінші есеп те шешілді, яни карамельді рбір тріні бірлігін
ндіруге жмсалатын ресурстар нормативі жне нім бірлігін сатудан тсетін табыс белгіленді. Енді математикалы модельді руа кірісе беруге болады.Модельді ру, жоарыда айтыландай, санды мні есепті
шешу нсаларыны бірін анытайтын айнымалыларды кейбір сандарын енгізуден басталады. Бл жадайда есеп карамель ндірісіні жоспарын анытауа рылады. Осыан орай келесі айнымалыларды енгізейік: х1 – А карамелін ндіру клемі, х2 – В карамелін ндіру клемі жне х3 – С карамелін ндіру клемі. Масатты функция ралы. Кондитерлік фабрика А кара-
меліні 1 т сатудан 108 теге клемінде табыс алатыны бізге белгілі, ал фабрика карамельді А тріні х1 тоннасын ндіреді, демек, А карамеліні х1 тоннасын сатудан фабрика 108 х1 теге клемінде табыс алады. Сйкесінше, В карамеліні х2 тоннасын сатудан тсетін табыс 112 х2 тегені, ал С карамеліні х3 тоннасын сатудан тсетін табыс 126 х3 тегені райды. Сонда
карамельді барлы трін сатудан тсетін табысты сомасы мынаан те болады: 108 х1+112 х2+126 х3. Демек, масатты функция барынша кбейтуді ажет ететін мынадай трге ие болады:
f (х)=108 х1 + 112 х2 + 126 х3, мндаы х= (х1 , х2 , х3) –
карамель ндірісіні жоспары.
Енді есепті шектелуін райы. А карамеліні 1 т ндіруге 0,8 т ант нтаы жмсалатыны бізге белгілі, демек, А карамеліні х1 тоннасын ндіруге 0,8 х1 тонна ант нтаы жмсалады. Сйкесінше, В карамеліні х2 тоннасын ндіруге - 0,5 х2 тонна, ал С карамелінні х3 тоннасын ндіруге 0,6 х1 тонна ант нтаы жмсалады. Осылайша, карамельді барлы трлерін ндіруге 0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 тонна ант нтаы жмсалады. Бл шыындар фабрикадаы ант нтаы орынан, яни 800 тоннадан асып кетпеуі ажет. Сонымен ант нтаы ресурсы бойынша бірінші шектелім мынадай трде болады:
0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 800
Сйкесінше, карамельді рбір тріні 1 тоннасына арналан сірне мен жеміс езіндісі шыындарыны берілген нормативін, сонымен бірге осы ресурстарды фабрикада бар клемін пайдалану арылы шикізаттарды бл трін пайдалану бойынша шектеулер рылады, длірек айтар болса,
0,4х1 + 0,4х2 + 0,3х3 600
0,1х2 + 0,1х3 800
Бл шектеулерге айнымалыларды теріссіздігі шартын осу ажет х1 0, х2 0, х3 0, себебі карамель ндірісіні клемі теріс бола алмайды. Осылайша, берілген экономикалы есепті келесі математикалы моделін алды.
0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 800
0,4х1 + 0,4х2 + 0,3х3 600
0,1х2 + 0,1х3 800
х1 0, х2 0, х3 0
шектеулері жадайында max f (х)=108 х1 + 112 х2 + 126 х3 табу
керек.
Математикалы модельді руа арналан таы бір есепті арастырып крейік.
Мал азыыны рационына рамына ш нім кіреді: пішен, срленген шп жне ауыз, кальций жне витаминдер секілді оректік заттары бар концентраттар. Сйкес азы рамындаы оректік заттар (1 кг-а г-мен) жне олармен оректенуді минималды ажетті нормасы тмендегі кестеде берілген:
оректік заттар
Азы
Ауыз Кальций Витаминдер
1 Пішен 50 6 2
2 Срленген шп 20 4 1
3Концентраттар 180 3 1
Ттыну нормасы 2000 120 40
Минималды н шарты бойынша малды азытандыруды отайлы рационын анытау керек, егер 1 кг пішенні баасы – 3 теге, срленген шп – 2 теге, концентраттар 5 теге тратын болса.
Математикалы модельді ру шін айнымалыларды енгіземіз:
х1 - рациондаы пішен клемі (кг)
х2 – рациондаы срленген шп клемі (кг)
х3 – рациондаы концентраттар клемі (кг).
Есепті мні мынада: оректік заттарды минималды ажетті нормасы болатын жне барынша арзана тсетін рационды х= (х1, х2 х3) анытау керек.
уелі масатты функция ралы. Бізге белгілі, 1 кг пішен 3 теге трады, ал оны рациондаы клемі х1 кг болуы ажет, демек рациондаы барлы пішен ны 3 х1 тегеге те болады, осыан сйкес рациондаы срленген пішенні ны 2 х2 теге, ал концентраттар ны 5 х3 теге болады. Осылайша,
рационны жалпы ны 3х1 + 2х2 + 5х3 те болады да, масатты функция мынадай трге ие болады:
f (х)=3х1 + 2х2 + 5х3 , жне осы функцияны минимумын табу керек. Енді есепті шектеуін рамыз. 1 кг пішенде 50 г ауыз болатындытан, х1 кг пішендегі ауыз (50 · х1) г болады. Сонымен атар 1 кг срленген шпте 20 г ауыз бар, демек х2 кг срленген шпте (20 · х1) г ауыз болады. Ауыз концентраттарда да болады, длірек айтса, (180· х3) г. Осылайша, толы рациондаы ауыз клемі 50х1 + 20х2 + 180· х3 болады жне ол ттынуды минималды ажетті нормасынан кем болмауы ажет, яни 2000 г-нан кем болмайды. Сонымен мынадай атынас аламыз:
50х1 + 20х2 + 180х3 2000
Осындай жолмен, рбір кг пішендегі, срленген шп пен концентраттаы кальций мен витаминдерді нормативін, сонымен атар оларды ттынуды минималды ажетті нормасын пайдалана отырып, тмендегі шектеулерді аламыз:
6х1 + 4х2 + 3х3 120,
2х1 + х2 + х3 40
Айнымалыларды теріс еместігі бойынша шектеулерді оса отырып, берілген экономикалы есепті
50х1 + 20х2 + 180х3 2000
6х1 + 4х2 + 3х3 120
2х1 + х2+ х3 40
х1 0, х2 0, х3 0
шектеулері жадайындаы мынадай математикалы моделін аламыз:
minf (х)=3х1 + 2х2 + 5х3
Баылау сратары:
1. Математикалы модельді сатылары?
2. Модельді руды сатысында анша есепті шешу ажет?