Апроксимація зовнішньої характеристики нелінійної системи

Домашнє завдання

ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

 

Вивчаючи розділи дисципліни „Основи наукових досліджень”, студенти виконують домашнє завдання, що складається з двох завдань.

Завдання 1

Оцінка характеристик випадкових похибок

Похибки вимірювань деякої фізичної величини задаються у вигляді послідовності значень випадкової величини . Для цього, використовуючи таблицю нормально розподілених випадкових чисел (див. додаток[1]), одержати реалізацію вибірки , де , мають один і той же нормальний розподіл з параметрами і Обсяг вибірки .

Знайти:

а) варіаційний ряд і емпіричну функцію розподілу
(побудувати її графік і графік теоретичної функції розподілу);

б) гістограму (побудувати її графік і графік теоретичної щільності
розподілу ймовірностей);

в) за критерієм згоди Персона перевірити несуперечність статистичних даних заданому теоретичному розподілові;

г) точкові оцінки математичного сподівання , дисперсії ;

д) довірчі інтервали для математичного сподівання та дисперсії 3 довірчим коефіцієнтом .

Методичні вказівки

 

Варіант завдання кожного студента визначається відповідним вибором значень математичного сподівання і дисперсії . Їх знаходять відповідно за формулами , де - остання і - передостання цифри номера студентського квитка.

У додатку подані нормально розподілені числа з і . Щоб отримати вибірку з математичним сподіванням і , необхідно кожне із 30 вибраних і з таблиці чисел[2] помножити на число, що дорівнює , і до отриманого результату додати . Отримані числа і будуть представляти шукану для даного варіанта вибірку.

Формули для знаходження точкових оцінок математичного сподівання і дисперсії наведені в посібнику [1, с. 29 – 34]. Можна також скористатися підручником [4, с. 404, формули (14.97), (14.98)]. Знаходження довірчого інтервалу викладене в [4, с. 408] і [2, с. 121 – 122]. Методи побудови емпіричних функцій розподілу і гістограм розглянуті в [2, с. 81 – 82], [3, с. 431}, [4, с. 385 – 386].

 

Завдання 2

Апроксимація зовнішньої характеристики нелінійної системи

Зміст завдання. Для нелінійної без інерційної системи (див. рис. 1) зв’язок між вхідним впливом і вихідною реакцією описується функціональною залежністю , , де - інтервал спостереження за системою. В результаті такого

 

 

Рис. 1. Нелінійна система

 

спостереження (вимірювання) отримана таблиця значень вхідного впливу і відповідних їм значень вихідної реакції (див. табл. 1)[3]. Використовуючи метод найменших квадратів на основі табличних даних побудувати зовнішню характеристику нелінійної системи у вигляді полінома другого порядку, тобто

. (1)

На одному рисункові зобразити графічно табличні дані і отриману функціональну залежність.

 

Таблиця 1

 

	0,1	0,01
	0,2	0,4
	0,3	0,8
	0,4	1,3
	0,5	1,8
	0,6	2,5
	0,7	3,3
	0,8	4,0
	0,9	4,8
	1,0	5,8
	1,1	7,0
	1,2	8,5
	1,3	10,3
	1,4	12,8

 

Методичні вказівки. Номер варіанта визначається значеннями останньої і передостанньої цифр у числі, що означає номер залікової книжки студента. Якщо або дорівнюють нулеві, то відповідні значення цифр беруть рівними 10. Цифри і визначають значення даних зовнішньої характеристики (див. табл.. 1).

Загально прийнята процедура знаходження коефіцієнтів в квадратичній залежності (1) полягає в виборі таких значень , які мінімізують суму квадратів відхилень отриманих в результаті вимірювань значень (див. табл.. 1) від прогнозованих на основі залежності (1) значень функції . Останні обчислюються шляхом підстановки вказаних у табл.. 1 значень в праву частину співвідношення (1). Позначимо ці значення як . Тоді сума різниці квадратів відхилень запишеться так:

.

Як відомо із математичного аналізу, мінімальне значення досягається при таких значеннях , для яких

.

Знайшовши відповідні похідні і прирівнявши їх нулеві, отримаємо систему із трьох рівнянь:

 

Цю систему рівнянь, після розкриття дужок та проведення низки елементарних перетворень, можна переписати так:

,

, (2)

.

 

Систему рівнянь (2) можна записати у матричній формі , де введені позначення: матриця

(3)

та вектори і .

Розв’язок системи рівнянь (2) можна знайти, наприклад, за методом Крамера, тобто

, і , (4)

 

Де - визначник матриці (3), - визначник матриці (3), в якій перший стовпчик замінено на вектор-стовпчик , - визначник матриці (3), в якій другий стовпчик замінено на вектор-стовпчик і - визначник матриці (3), в якій третій стовпчик замінено на вектор-стовпчик .

Знайдені за формулами (4) значення коефіцієнтів слід підставити у праву частину співвідношення (1) і побудувати графік отриманої зовнішньої характеристики нелінійної системи.

 

Додаток