D.2. Множественная регрессия и корреляция
Пример. По 
предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника 
(тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов 
( 
от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих 
( ).
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 7,0 | 3,9 | 10,0 | 9,0 | 6,0 | 21,0 | ||
| 7,0 | 3,9 | 14,0 | 11,0 | 6,4 | 22,0 | ||
| 7,0 | 3,7 | 15,0 | 9,0 | 6,8 | 22,0 | ||
| 7,0 | 4,0 | 16,0 | 11,0 | 7,2 | 25,0 | ||
| 7,0 | 3,8 | 17,0 | 12,0 | 8,0 | 28,0 | ||
| 7,0 | 4,8 | 19,0 | 12,0 | 8,2 | 29,0 | ||
| 8,0 | 5,4 | 19,0 | 12,0 | 8,1 | 30,0 | ||
| 8,0 | 4,4 | 20,0 | 12,0 | 8,5 | 31,0 | ||
| 8,0 | 5,3 | 20,0 | 14,0 | 9,6 | 32,0 | ||
| 10,0 | 6,8 | 20,0 | 14,0 | 9,0 | 36,0 |
Требуется:
1.Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2.Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3.Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4.С помощью 
-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации 
.
5.С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
6.Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
Решение
Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
| № |
|
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 7,0 | 3,9 | 10,0 | 27,3 | 70,0 | 39,0 | 15,21 | 100,0 | 49,0 | |
| 7,0 | 3,9 | 14,0 | 27,3 | 98,0 | 54,6 | 15,21 | 196,0 | 49,0 | |
| 7,0 | 3,7 | 15,0 | 25,9 | 105,0 | 55,5 | 13,69 | 225,0 | 49,0 | |
| 7,0 | 4,0 | 16,0 | 28,0 | 112,0 | 64,0 | 16,0 | 256,0 | 49,0 | |
| 7,0 | 3,8 | 17,0 | 26,6 | 119,0 | 64,6 | 14,44 | 289,0 | 49,0 | |
| 7,0 | 4,8 | 19,0 | 33,6 | 133,0 | 91,2 | 23,04 | 361,0 | 49,0 | |
| 8,0 | 5,4 | 19,0 | 43,2 | 152,0 | 102,6 | 29,16 | 361,0 | 64,0 | |
| 8,0 | 4,4 | 20,0 | 35,2 | 160,0 | 88,0 | 19,36 | 400,0 | 64,0 | |
| 8,0 | 5,3 | 20,0 | 42,4 | 160,0 | 106,0 | 28,09 | 400,0 | 64,0 | |
| 10,0 | 6,8 | 20,0 | 68,0 | 200,0 | 136,0 | 46,24 | 400,0 | 100,0 | |
| 9,0 | 6,0 | 21,0 | 54,0 | 189,0 | 126,0 | 36,0 | 441,0 | 81,0 | |
| 11,0 | 6,4 | 22,0 | 70,4 | 242,0 | 140,8 | 40,96 | 484,0 | 121,0 | |
| 9,0 | 6,8 | 22,0 | 61,2 | 198,0 | 149,6 | 46,24 | 484,0 | 81,0 | |
| 11,0 | 7,2 | 25,0 | 79,2 | 275,0 | 180,0 | 51,84 | 625,0 | 121,0 | |
| 12,0 | 8,0 | 28,0 | 96,0 | 336,0 | 224,0 | 64,0 | 784,0 | 144,0 | |
| 12,0 | 8,2 | 29,0 | 98,4 | 348,0 | 237,8 | 67,24 | 841,0 | 144,0 | |
| 12,0 | 8,1 | 30,0 | 97,2 | 360,0 | 243,0 | 65,61 | 900,0 | 144,0 | |
| 12,0 | 8,5 | 31,0 | 102,0 | 372,0 | 263,5 | 72,25 | 961,0 | 144,0 | |
| 14,0 | 9,6 | 32,0 | 134,4 | 448,0 | 307,2 | 92,16 | 1024,0 | 196,0 | |
| 14,0 | 9,0 | 36,0 | 126,0 | 504,0 | 324,0 | 81,0 | 1296,0 | 196,0 | |
| Сумма | 123,8 | 1276,3 | 2997,4 | 837,74 | 10828,0 | 1958,0 | |||
| Ср. знач. | 9,6 | 6,19 | 22,3 | 63,815 | 229,05 | 149,87 | 41,887 | 541,4 | 97,9 |
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
;
;
.
1.Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров 
, 
, 
:
либо воспользоваться готовыми формулами:
; 
;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
;
;
.
Находим
;
;
.
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
.
Коэффициенты 
и 
стандартизованного уравнения регрессии 
находятся по формулам:
;
.
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
; 
.
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
2.Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
; 
; 
.
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 
). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
;
.
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
;
.
Коэффициент множественной корреляции
.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
;
;
.
Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.
3.Нескорректированный коэффициент множественной детерминации 
оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 
и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.
Скорректированный коэффициент множественной детерминации
определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 
) детерминированность результата в модели факторами и .
4.Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи 
дает -критерий Фишера:
.
В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:
.
Получили, что 
(при 
), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости 
. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи 
.
5.С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:
;
.
Найдем 
и 
.
;
.
Имеем
;
.
Получили, что 
. Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.
Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. 
, т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта 
. Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .
6.Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:
, 
.
Варианты индивидуальных заданий
По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) (смотри таблицу своего варианта).
Требуется:
1.Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2.Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3.Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4.С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5.С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
6.Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
Вариант 1
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,6 | 6,3 | ||||||
| 3,6 | 6,4 | ||||||
| 3,9 | |||||||
| 4,1 | 7,5 | ||||||
| 3,9 | 7,9 | ||||||
| 4,5 | 8,2 | ||||||
| 5,3 | |||||||
| 5,3 | 8,6 | ||||||
| 5,6 | 9,5 | ||||||
| 6,8 |
Вариант 2
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,5 | 6,3 | ||||||
| 3,6 | 6,4 | ||||||
| 3,9 | |||||||
| 4,1 | 7,5 | ||||||
| 4,2 | 7,9 | ||||||
| 4,5 | 8,2 | ||||||
| 5,3 | 8,4 | ||||||
| 5,3 | 8,6 | ||||||
| 5,6 | 9,5 | ||||||
Вариант 3
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,7 | 6,3 | ||||||
| 3,7 | 6,4 | ||||||
| 3,9 | 7,2 | ||||||
| 4,1 | 7,5 | ||||||
| 4,2 | 7,9 | ||||||
| 4,9 | 8,1 | ||||||
| 5,3 | 8,4 | ||||||
| 5,1 | 8,6 | ||||||
| 5,6 | 9,5 | ||||||
| 6,1 | 9,5 |
Вариант 4
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,5 | 6,3 | ||||||
| 3,6 | 6,5 | ||||||
| 3,9 | 7,2 | ||||||
| 4,1 | 7,5 | ||||||
| 4,2 | 7,9 | ||||||
| 4,5 | 8,2 | ||||||
| 5,3 | 8,4 | ||||||
| 5,5 | 8,6 | ||||||
| 5,6 | 9,5 | ||||||
| 6,1 | 9,6 |
Вариант 5
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,6 | 6,3 | ||||||
| 3,6 | 6,9 | ||||||
| 3,7 | 7,2 | ||||||
| 4,1 | 7,8 | ||||||
| 4,3 | 8,1 | ||||||
| 4,5 | 8,2 | ||||||
| 5,4 | 8,4 | ||||||
| 5,5 | 8,8 | ||||||
| 5,8 | 9,5 | ||||||
| 6,1 | 9,7 |
Вариант 6
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,5 | 6,3 | ||||||
| 3,6 | 6,8 | ||||||
| 3,8 | 7,2 | ||||||
| 4,2 | 7,9 | ||||||
| 4,3 | 8,1 | ||||||
| 4,7 | 8,3 | ||||||
| 5,4 | 8,4 | ||||||
| 5,6 | 8,8 | ||||||
| 5,9 | 9,6 | ||||||
| 6,1 | 9,7 |
Вариант 7
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,8 | 6,8 | ||||||
| 3,8 | 7,4 | ||||||
| 3,9 | 7,8 | ||||||
| 4,1 | 7,5 | ||||||
| 4,6 | 7,9 | ||||||
| 4,5 | 8,1 | ||||||
| 5,3 | 8,4 | ||||||
| 5,5 | 8,7 | ||||||
| 6,1 | 9,5 | ||||||
| 6,8 | 9,7 |
Вариант 8
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,8 | 7,1 | ||||||
| 4,1 | 7,5 | ||||||
| 4,3 | 7,8 | ||||||
| 4,1 | 7,6 | ||||||
| 4,6 | 7,9 | ||||||
| 4,7 | 8,1 | ||||||
| 5,3 | 8,5 | ||||||
| 5,5 | 8,7 | ||||||
| 6,9 | 9,6 | ||||||
| 6,8 | 9,8 |
Вариант 9
| Номер предприятия |
|
|
| Номер предприятия |
|
|
|
| 3,9 | 7,1 | ||||||
| 4,2 | 7,5 | ||||||
| 4,3 | 7,8 | ||||||
| 4,4 | 7,9 | ||||||
| 4,6 | 8,1 | ||||||
| 4,8 | 8,4 | ||||||
| 5,3 | 8,6 | ||||||
| 5,7 | 8,8 | ||||||
| 6,9 | 9,6 | ||||||
| 6,8 | 9,9 |
Вариант 10