Дифференциальные уравнения
1. Равенство вида 
, содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка, называется дифференциальным уравнением.
2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.
3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида 
или в дифференциалах 
. Если эти равенства можно разрешить относительно производной, то их записывают в виде 
или 
.
4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывную производную 
на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.
5. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.
6. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x; С), содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях (x0; y0) уравнение y0 = j(x0; С) должно быть разрешимо относительно С так, что С = y(x0; y0); 2) при всех значениях постоянной С = y(x0; y0) функция y = j(x; y(x0; y0)) должна удовлетворять дифференциальному уравнению.
7. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированном значении постоянной С называется частным решением дифференциального уравнения.
8. Уравнение вида 
или 
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приводятся к виду 
или 
путем разделения переменных x и y и затем почленно интегрируются.
9. Уравнение вида 
называется однородным дифференциальным уравнением. Используется замена: 
или 
, где 
– новая неизвестная функция, тогда 
. Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, для которого находят общее решение. Записывают общее решение исходного уравнения по формуле .
10. Уравнение вида 
называется линейным дифференциальным уравнением. Используется метод Бернулли: 
, где , 
– новые неизвестные функции, тогда 
. Получаем: 
или 
. Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получаем 
Первое уравнение – ДУ с разделяющимися переменными, находим его частное решение при С = 0. Найденное частное решение подставляем во второе уравнение, являющееся тоже ДУ с разделяющимися переменными и находим его общее решение. Записываем общее решение исходного уравнения по формуле .
11. Уравнение вида 
, где 
называется дифференциальным уравнением Бернулли. Используется метод Бернулли: .
12. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида 
. Если уравнение можно разрешить относительно 
, то его записывают в виде 
.
13. Решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывные производные , 
на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.
14. Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y0, 
при x = x0.
15. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x; С1; С2), содержащая две произвольные постоянные С1, С2 и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях 
система уравнений 
должна быть разрешима относительно постоянных С1, С2 так, что 
2) при всех значениях этих постоянных С1, С2 функция y = j(x; C1; C2) обращает дифференциальное уравнение в верное числовое равенство.
16. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированных значениях постоянных С1, С2 называется частным решением дифференциального уравнения.
17. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка:
а) 
решается повторным интегрированием.
б) 
, явно не содержащее искомой функции 
. Используется замена: 
, где 
– новая неизвестная функция, тогда 
. Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.
в) 
, явно не содержащее независимой переменной 
. Замена: , где 
, тогда 
. Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.
18. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида 
. Составляется характеристическое уравнение 
.
Если 
, то 
и общее решение исходного уравнения имеет вид: 
.
Если 
, то 
и 
.
Если 
, то 
и 
.
19. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида называется уравнение вида 
. Его общее решение ищется в виде 
, где 
– общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , а 
– какое-либо частное решение исходного уравнения.
Если 
, где a – некоторое число, Pn(x) – многочлен степени n, то 
, где 
– многочлен степени 
с неопределенными коэффициентами, 
– число, равное кратности a как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .
Если 
, где a, b – некоторые числа, Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно, то 
, где 
– многочлены степени 
с неопределенными коэффициентами, 
, – число, равное кратности 
как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .
20. Система дифференциальных уравнений вида
где 
, 
,…, 
– неизвестные функции независимой переменной 
, называется нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , ,…, , то система дифференциальных уравнений называется линейной.
21. а) Если дана система 
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
то эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения 
, где
; 
; 
.
Решение системы ищем в виде 
, 
,…, 
. Подставив значения , ,…, в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно 
, 
,…, 
:
Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения 
получаем уравнение – й степени:
Пусть это характеристическое уравнение имеет различных корней 
, 
,…, 
. Тогда система дифференциальных уравнений имеет решений:
1-е решение, соответствующее корню 
:
; 
;…; 
2-е решение, соответствующее корню 
:
; 
;…; 
;
…………………………………………………………………….
– е решение, соответствующее корню 
:
; 
;…; 
.
Получена фундаментальная система решений. Общее решение системы имеет вид
Такой способ решения называется решением линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи матриц (видоизмененный метод Эйлера).
б) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению – го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).
Ряды
1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел а1, а2, …, аn. Числовым рядом называется сумма вида 
.
2. Если существует конечный предел 
частичной суммы 
, то соответствующий числовой ряд 
называется сходящимся и его сумма равна S. В противном случае числовой ряд называется расходящимся.
3. Основные свойства сходящихся числовых рядов:
а) Необходимый признак сходимости: если числовой ряд сходится, то 
.
б) Достаточное условие расходимости: если 
, то числовой ряд расходится.
в) Если все члены сходящегося числового ряда 
умножить или разделить на число 
, то получится сходящийся ряд 
.
г) Если два сходящихся числовых ряда и 
почленно сложить (или вычесть), то получатся сходящиеся ряды 
(или 
).