Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
Условие принадлежности прямой 
кплоскости 
выражается двумя равенствами
, (13.5)
первое из которых означает, что точка 
(x1,y1,z1), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе- это условие параллельности прямой и плоскости.
Координаты точки пересечения прямой 
и плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяются из системы уравнений
(13.6)
Пример 13.4.Доказать, что прямая
лежит в плоскости
3x+2y-4z-23=0.
Решение.Воспользуемся формулой (4.5)
.
Следовательно, прямая лежит в данной плоскости.
Пример 13.5. Найти точку пересечения плоскости 
и прямой 
Решение.Решим совместно систему уравнений прямой и плоскости. Подставим выражение для 
в уравнение плоскости
После упрощения получим 
откуда 
Из уравнения прямой при 
находим координаты точки пересечения 
Таким образом, искомой точкой пересечения является точка 
Пример 13.6.Дана прямая 
и вне ее точка М ( 1; 1; 1). Найти точку N, симметричную точке М относительно данной прямой.
Решение.Составим уравнение плоскости, проектирующей точку М на данную прямую, в виде
Используя условие перпендикулярности заданной прямой и проектирующей плоскости 
, находим уравнение плоскости
или
.
Найдем проекцию точки М на прямую, для чего совместно решим систему уравнений
Запишем уравнения прямой в параметрическом виде
Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, найдем t =1/14. Отсюда x =8/7, y =3/ 14, z =-15/14.
Тогда координаты симметричной точки можно найти из формул середины отрезка, т.е.
,
или
,
откуда 
, 
, 
. Следовательно,
N(9/7; - 4/7; - 22/7).
Пример 13.7. Вычислит расстояние d точки Р(1 -1;-2) от прямой
Решение 1.Выберем на прямой какую-нибудь точку, например М1( -3; -2; 8). Будем считать, что направляющий вектор прямой 
приложен в точке М1. Модуль векторного произведения векторов 
и 
определит площадь параллелограмма, построенного на этих векторах; высота этого параллелограмма, проведенная из вершины Р , будет являться искомым расстоянием d. Следовательно, для вычисления расстояния d имеем формулу 
. Теперь вычислим координаты вектора , зная координаты его конца и начала: = 
. Найдем векторное произведение векторов и : 
. Определим его модуль 
. Вычислим модуль вектора : 
. Найдем искомое расстояние 
.
Решение 2.Составим уравнение плоскости, проектирующей точку Р на данную прямую, в виде
Используя условие перпендикулярности заданной прямой и проектирующей плоскости 
, находим уравнение плоскости 
.
Найдем точку М пересечения прямой с построенной плоскостью. Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде
Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, найдем t = 2. Отсюда x = 3, y =2, z =-4. Расстояние между точками Р и М будет являться искомым расстоянием d. Следовательно
Пример 13.8.Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми
;. 
.
Решение.Данные прямые являются скрещивающимися и лежат в параллельных плоскостях. Через прямую l2проведем плоскость параллельную прямой l1. В качестве нормального вектора возьмем 
, где 
и 
- направляющие векторы прямых.
= 
Зная точку на прямой l2 - М2(21;-5; 2), запишем уравнение плоскости в виде
или
.
Расстояние от точки М1(-7; -4; -3) на прямой l1 и будет искомым расстоянием:
.
Вопросы для самопроверки
1. Как вычисляются углы между плоскостью и прямой?
2. Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости?
3. Как проверить, что прямая принадлежит плоскости?
4. Как найти точку пересечения прямой с плоскостью?
5. Как найти расстояние между параллельными прямыми, между скрещивающимися прямыми?