Задания для самопроверки №3
1. Постройте на бумаге в клетку систему координат, где единичный отрезок - 1см. Найдите приближенные значения следующих интервалов с помощью графиков подынтегральных функций:
a)  ;
| b)  ;
| c)  .
|
2. Пусть имеется кардиоида 
(рис. см. приложение №1). Найти:
a) площадь фигуры ограниченной кардиоидой ; Ответ: 
.
b) длину дуги кардиоиды; Ответ: 8а.
3.Пусть имеется одна арка циклоиды 
, ограниченная осью Ох (рис. см. приложение №1). Найти:
a) площадь циклоиды Ответ: 
.
b) длину дуги циклоиды; Ответ: 8а.
c) вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды. Ответ: 5π2а3.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями 
и 
. Ответ: 
.
5. Определить площадь части круга 
, ограниченной кривыми 
. Ответ: 
.
6.Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высокой h = 3,5 м и радиусом основания r = 1,5 м, на его стенки, если 
. Ответ: 
7.Найти работу, совершенную при выкачивании воды из емкости, имеющую форму полуцилиндра, длина которого a, радиус r.
Ответ: 
8. Вычислить силу давления воды на пластину, имеющую форму параллелограмма с основанием а = 2 м и высота Н = 3 м, опущенную вертикально вниз на глубину 4 м, если основание параллельно поверхности воды. Плотность воды 1 т/м3.
Ответ: 156,8 кН.
9. Найти координаты центра масс однородной дуги окружности радиусом R с центром в начале координат, расположенной в первом квадранте.
Ответ: ( 
; ).
10. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной линиями 
.
Ответ: ( 
; 
).
11. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого 20 м, если плотность воды 
т/м3.
Ответ: 76969 кДж.
12. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры, ограниченной линиями 
.
Ответ: (9;9).
13. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией 
(ден.ед./ч.), где t – время в часах от начала работы, 
. Найти функцию u=u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.
Ответ: 4,53 ден. ед.
14. Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр (тариф перевозки) задается функцией 
(ден.ед./км.). Определите затраты на перевозку одной тонны груза на расстояние 20 км.
Ответ: 23,98 ден. ед.
15. Вычислить среднюю теплоемкость аммиака 
в интервале температур от 298 до 1000 К.
Ответ: 45,79 Дж/(моль К).
Вопросы и предложения для самопроверки
Неопределенный интеграл
1. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
2. Что называется первообразной от данной функции?
3. Сформулируйте теорему о существовании неопределенного интеграла.
4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
5. В чем состоит метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле?
6. Какая рациональная дробь называется правильной?
7. Как производится разложение правильной рациональной дроби на простейшие?
8. В чем состоит метод интегрирования рациональной функции?
9. Приведите примеры интегрирования простейших иррациональных функций.
Определенный интеграл
10. Что называется определенным интегралом от данной функции в данном интервале?
11. В чем состоит теорема существования определенного интеграла?
12. Сформулируйте свойства определенного интеграла.
13. Каков геометрический смысл определенного интеграла от данной функции 
в данном интервале 
в системе декартовых координат?
14. Разъясните понятие интеграла как функции своего верхнего предела.
15. Сформулируйте теорему о связи между неопределённым интегралом и определённым интегралами.
16. В чем состоит метод замены переменной в определенном интеграле?
17. В чем особенность вычисления определенного интеграла, взятого по симметричному интервалу 
?
18. Что называется несобственным интегралом от данной функции по бесконечному интервалу?
19. Что называется несобственным интегралом от данной функции по данному конечному интервалу?