Простейшие свойства линейного оператора
1º. Линейный оператор 
переводит нейтральный элемент пространства 
в нейтральный элемент пространства 
.
►Пусть 
– линейный оператор. Тогда 
.◄
2º. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства переходят в линейно зависимые векторы пространства 
.
►Пусть 
– линейно зависимые векторы. Это значит, что существуют числа 
, не все равные нулю, такие, что
. (4.7)
Подействуем линейным оператором на обе части равенства (4.7). Тогда
(4.7) 
[(4.3) и 1º] 
.
Так как среди чисел 
есть отличные от нуля, то система { 
} линейно зависима.◄
Вопрос 17
Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа
Пусть в линейном пространстве 
над полем 
задан базис
(4.8)
и пусть 
– линейный оператор (читается так: 
в себя). Построим систему векторов
( 
). (4.9)
Каждый из векторов системы (4.9) можно разложить по базису (4.8):
(4.10)
Сокращенно система (4.10) записывается одним равенством:
. (4.11)
Расположим числа 
в матрицу А по нашей договоренности: верхний индекс обозначает номер строки, а нижний – номер столбца:
Заметим, что столбцы полученной матрицы А являются координатными столбцами образов векторов базиса (4.8) в том же базисе. Обозначим
[ 
] = 
.
Равенство (4.11) можно переписать и так: 
, откуда, руководствуясь правилом цепочки, (4.11) записываем в матричном виде:
. (4.12)
Матрицей линейного оператора 
в некотором базисе называется матрица А, столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов в том же базисе. Это матрица 
, элементы которой удовлетворяют системе равенств (4.10) или (4.11), а сама матрица удовлетворяет матричному равенству (4.12).
Примеры
1. Матрицей нулевого оператора 
в любом базисе является нулевая матрица; матрицей тождественного оператора 
также в любом базисе является матрица единичная.
2. Пусть 
. Составим матрицу оператора проектирования на ось Ox в базисе 
. Для этого находим образы базисных векторов и разлагаем их по базису:
.
3. Составим матрицу оператора 
поворота плоскости на угол 
(см. § 2) в базисе 
. Из рис. 4.5 и 4.6 видно, что
Тогда
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Итак, если в пространстве 
задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору 
можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, т. е. квадратную матрицу A n-го порядка, причем эта матрица определяется однозначно.
Пусть теперь задана квадратная матрица А с элементами из поля P. Обозначим 
вектор, координатный столбец которого в базисе (4.8) совпадает с i-м столбцом матрицы А. Получим упорядоченную систему векторов
( 
)
Согласно теореме 4.1, существует единственный линейный оператор 
такой, что 
. По определению матрица этого оператора в базисе (4.8) совпадает с А.
Обозначим 
– множество всех линейных операторов линейного пространства 
над полем Р в себя. Из вышесказанного вытекает: если в 
задан базис, то определяется отображение
,
которое ставит в соответствие каждому линейному оператору 
его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.