Свойства собственных векторов
1º. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.
► Предположим, что некоторому собственному вектору 
соответствуют два разных собственных значения 
и 
( 
). Тогда
. (4.42)
По шестому следствию § 1 гл. 3, из (4.42) следует, что 
, что противоречит определению собственного вектора.◄
2º. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы.
►Пусть 
, 
, …, 
– собственные векторы линейного оператора 
с собственными значениями 
соответственно, причем 
при 
. Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.
a) 
. Предположим, что векторы линейно зависимы. Тогда один из них можно выразить через другой, например, 
. Имеем
,
откуда получаем, что 
(так как 
, 
), а значит, 
, что противоречит определению собственного вектора.
б) Предположим, что утверждение справедливо для (n–1)-го вектора и докажем его справедливость для n векторов. Пусть собственные векторы 
с различными собственными значениями 
линейно зависимы. Значит, один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных, например:
. (4.43)
Так как 
, получаем
. (4.44)
По предположению индукции, векторы 
, 
, …, 
линейно независимы. Поэтому из (4.44) вытекает, что 
, 
Так как 
, то 
при 
. Но тогда из (4.43) видно, что 
, что противоречит определению собственного вектора.◄
3º. Множество 
всех собственных векторов линейного оператора с одним и тем же собственным значением 
вместе с нулевым вектором является подпространством линейного пространства V.
►Заметим, что 
состоит из всех векторов, удовлетворяющих условию (4.42), 
т.к. 
при любом 
. Докажем замкнутость 
относительно операций, заданных в V. Действительно,
{ 
} 
{ 
; 
}
{ 
} 
{ 
};
{ 
} { 
} { 
} { 
}.
На основании теоремы 3.4, – подпространство линейного пространства V.◄
4º. Пусть – линейный оператор, 
– его различные собственные значения. Обозначим
и 
.
Тогда в 
существует 
линейно независимых собственных векторов оператора 
.
►В каждом из подпространств 
выберем 
линейно независимых векторов 
и покажем, что система
– (4.45)
линейно независима. Для этого составим ее линейную комбинацию и приравняем 
:
. (4.46)
Обозначим 
. Тогда (4.46) примет вид
,
откуда вытекает, что система 
линейно зависима. Поэтому на основании свойства 2º не все из векторов 
являются собственными, т. е. среди них есть нулевые. Пусть, например, 
. Это означает, что 
(объясните, почему), и что 
. Теперь видим, что система 
линейно зависима. Значит, и среди этих векторов есть нулевые. Пусть, например, 
со всеми вытекающими отсюда последствиями. После конечного числа шагов получаем, что в (4.46) все коэффициенты 
, откуда и следует линейная независимость системы (4.45).◄
Вопрос 28
Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.