Задачи для самостоятельного решения

Эластичность функции.

 

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при :

.

 

Свойства эластичности.

 

1. Эластичность – безразмерная величина.
2. Эластичности обратных функций – обратные величины.
3. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций.
4. Эластичность дроби двух функций равна эластичности числителя минус эластичность знаменателя.
5. Эластичность суммы двух функций определяется по формуле:

.

 

Пример 1.

Определить эластичность функции .

Решение. .

Пример 2.

Определить эластичность функции .

Решение. .

 

Функции спроса и предложения.

Эластичность может быть использована при анализе спроса и предложения по цене, себестоимости продукции и т.д. Спрос является невозрастающей функцией цены.

Рассмотрим эластичность спроса по цене:

, где - функция спроса от цены, - цена товара.

Эластичность спроса по цене показывает, насколько процентов изменится спрос на какой-либо товар при изменении цены товара на один процент и характеризует чувствительность потребителей к изменению цен на товары.

Аналогично определяется эластичность предложения по цене:

, где - количество предлагаемого на продажу товара, - цена товара. Функция является неубывающей функцией от цены.

При равенстве спроса и предложения цена на товар называется равновесной.

 

Если , то спрос считается эластичным. Если , то спрос считается неэластичным.

Выручка продавца (расходы покупателя) рассчитываются по формуле: .

Эластичность выручки по цене определяется как: , поскольку всегда отрицательна. Таким образом, если спрос эластичен по цене, то при увеличении цены товара продавец получит меньшую выручку, а при уменьшении – большую. Если спрос неэластичен по цене, выручка возрастет при незначительном увеличении цены на товар и уменьшится при уменьшении цены.

 

Пример 3.

Функции спроса и предложения имеют вид .

Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения по этой цене, изменение дохода при изменении цены на 3%.

Решение.

Равновесная цена находится из равенства = или . Откуда получаем, что или . Находим эластичности спроса и предложения: и . Так как полученные эластичности больше 1 по модулю, спрос и предложение эластичны. Уменьшение цены на один процент приводит к увеличению спроса на 2 процента и уменьшению предложения на 2 процента. При увеличении цены на 3% спрос уменьшится на 3*2=6.

Уменьшение дохода равно 6-3=3%.

 

Пример 4.

Функции спроса и предложения имеют вид .

Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения по этой цене, изменение дохода при изменении цены на 3% и изменение выручки продавца при увеличении цены на 1%.

Решение.

Равновесная цена находится из равенства или 1= . . Так как эластичности меньше 1, спрос и предложение неэластичны по цене. При увеличении цены на один процент спрос уменьшится на 0,3 процента. При увеличении цены на 3% доход возрастет на 3-0,9=2,1%. При уменьшении цены на 3% доход уменьшится на 3+0,9=2,1%. Рассчитаем эластичность выручки продавца: . Следовательно при увеличении цены на 1% выручка продавца возрастет на 0,7%.

 

Задачи для самостоятельного решения.

 

1. Найти эластичность следующих функций:

 

 

2. Функции спроса и предложения имеют вид .

Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения при этой цене, изменение дохода при изменении цены на 3% .

3. Функции спроса и предложения имеют вид .

Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения при этой цене, изменение дохода при изменении цены на 3% .