Глава 2. Аналитическая геометрия

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора

Величины, характеризующиеся только числовым значением (масса, объем, плотность, стоимость и другие), называются скалярными.

Величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением (сила, скорость, момент силы и другие), называются векторными.

Определение

Вектор – это направленный отрезок, на котором определены операции сравнения сложения и умножения на вещественное число. Векторы обозначаются так: a, , , .
(Рис. 2.1.1)


Рис. 2.1.1	Рис. 2.1.2–а	Рис. 2.1.2–б

Определение

Модуль (длина) вектора обозначается так: |a|, b, .

Определение

Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Определение

Векторы равны тогда и только тогда, когда они:

1. коллинеарны;

2. одинаково направлены;

3. имеют равные длины.

Вектор можно произвольно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Определение

Векторы, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными. (Рис. 2.1.2–а и 2.1.2–б).

Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов.

Определение

Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец – с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a (рис. 3–а). Это правило сложения векторов называется еще “правилом треугольника”.


Рис. 2.1.3–а	Рис. 2.1.3–б

Вектор c = a + b можно построить также по “правилу параллелограмма”: в точке O совместим начала векторов aи b и на этих векторах, как на сторонах, построим параллелограмм. Вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма с началом в точке O, и является вектором c (рис. 2.1.3–а).

Сумма векторов обладает как переместительным свойством (рис. 2.1.3–б):

a + b = b + a

(2.1.1)

так и сочетательным (рис. 2.1.4):

(a + b) + c = a + (b + c).

(2.1.2)

Рис. 2.1.4

Подобно построению суммы трех векторов можно построить сумму любого конечного числа векторов.

2. Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора a на число l называется вектор c =la, удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;

2. a коллинеарен вектору a;

3. , если > 0 и , если < 0.

Определение

Вектор называется противоположным вектору .

Можно убедиться, что произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

(2.1.3)

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Определение

Вектор , имеющий длину, равную единице и параллельный вектору , называется ортом вектора .

Из определения умножения вектора на число следует, что , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт (единичный вектор того же направления).

3. Вычитание векторов.

Определение

Разностью векторов a и b называется такой вектор c = a – b, сумма которого с вычитаемым вектором b дает вектор a(рис. 2.1.5–а).

(2.1.4)

Если на векторах a и b построить параллелограмм, то одна из диагоналей совпадает с суммой a + b, а другая – с разностью a – b (рис. 2.1.5–б).

Определение

Углом между векторами aи b называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым (рис. 2.1.6).

Рис. 2.1.6

Проекция вектора на ось

Пусть даны в пространстве вектор и ось l. Точки M₁ и N₁ являются проекциями на ось l точек M и N (рис. 2.1.7).

Рис. 2.1.7

Определение

Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора , лежащего на этой оси, если параллелен l, и длине вектора взятой со знаком “минус”, если антипараллелен l.

(2.1.5)

Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами:

, где

– угол между

и l,

(2.1.6)

Способы задания вектора

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат. Положение точки M (рис. 2.1.8) определяется с помощью координат x, y и z: M(x,y,z).

Рис. 2.1.8

(2.1.7)

Определение

Вектор называется радиус–вектором точки M.

На каждой оси координат выберем единичный вектор, направленный также, как и ось. Обозначим эти векторы соответственно i, j, k. Совокупность этих векторов называется базисом декартовой (прямоугольной) системы координат.

а) Задание вектора его координатами.

Определение

Координатами вектора a называются его проекции на координатные оси.