Элементарные функции. Классификация функций
Говорят, что функция задана явно, если она задана формулой, в которой правая частьне содержит зависимой переменной; например, функция .
Напротив, функция задана неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция, заданная уравнением
, задана неявно. (Заметим, что последнее уравнение задает две функции,
при
, и
при y<0).
Обратная функция.
Пусть есть функция независимой переменной
, определенной на промежутке
с областью значений
. Поставим в соответствие каждому
единственное значение
, при котором
. Тогда полученная функция
, определенная на промежутке
с областью значений
, называется обратной функцией и обозначается
или
.
Например. Для функции обратной будет функция
.
Можно доказать, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Сложная функция.
Пусть функция есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y,а переменная u в свою очередь является функцией
от переменной x, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция
называется сложной функцией.
Определение
Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Например, функция
является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции ( ,
,
,
) конечно. Примерами неэлементарных функций являются функции
,
– целая часть числа x.
Классификация функций.
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Определение
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий.
К числу алгебраических функций относятся:
- целая рациональная функция (многочлен или полином): ;
- дробно–рациональная функция – отношение двух многочленов;
- иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
Преобразование графиков.
Пусть задан график функции
. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. График функции есть график
, сдвинутый (при a>0 влево, при a<0 вправо) на |a| единиц параллельно оси 0x.
2. График функции есть график
, сдвинутый (при b>0 вверх, при b<0 вниз) на |b| единиц параллельно оси 0y.
3. График функции есть график
, растянутый (при m>1) в m раз или сжатый (при 0<m<1) вдоль оси 0y. При
график функции
есть зеркальное отображение графика
от оси 0x.
4. График функции есть график
, сжатый (при k>1) в k раз или растянутый (при 0<k<1) вдоль оси 0x. При
график функции
есть зеркальное отображение графика
от оси 0y.