Интегралы от основных элементарных функций

Ранее мы получили основные производные элементарных функций. Приводимые ниже неопределенные интегралы представляют собой вычислительный аппарат интегрального исчисления. Часть формул непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

10)

11)

12)

13)

14)

(7.3.1)

Приведенные выше интегралы принято называть табличными. Как было установлено ранее, операция дифференцирования не выводит функцию из класса элементарных. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Например:

– интеграл Пуассона.

или – интеграл Френеля.

– интегральный синус.

– интегральный косинус.

Каждый из этих интегралов есть функция, которая не является элементарной. Они играют большую роль в прикладных науках. Например, интеграл Пуассона является одним из основных в теории вероятностей и статистике.

Отметим несколько полезных правил для вычисления интегралов.

Если известна первообразная функции , т.е. , а числа a и b константы, то:

. 2.

. 3.

(7.3.2)

Пример

Вычислим интегралы.

Методы интегрирования. Метод замены переменной

Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенных интегралов к табличным. Такой прием называется методом подстановки, или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема

Пусть функция определена на множестве Х, а функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т. Таким образом, множество Х – множество значений функции . Тогда, если функция имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула

(7.4.1)

Выражение (7.4.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Рассмотрим применение этого приема на примерах.

1. .

2. . Введем новую переменную , тогда , . Исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Возвращаясь к старой переменной, получим:

3. .

4. . Положим . Тогда , . Отсюда по формуле (7.4.1) получаем

5. .

6. .

7. .

9. . Здесь необходима следующая замена: . Тогда .

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. Отметим, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных или переменных под знак дифференциала).