Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим важный и весьма распространенный случай, когда в уравнении вида
 .
| (8.6.1) |
где 
и 
– постоянные величины.
Определение
Уравнения такого вида называются линейными дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Как и в общем случае линейных дифференциальных уравнений второго порядка, основой в построении решения являются однородные уравнения.
Рассмотрим линейное однородное уравнение
 ,
| (8.6.2) |
где 
и 
– вещественные числа. Будем искать решение этого уравнения в виде 
, где 
– некоторое число. Подставляем эту функцию в уравнение (8.6.2): 
.
Сокращая обе части уравнения на 
получаем квадратное уравнение:
 .
| (8.6.3) |
Таким образом, если число k является корнем уравнения (8.6.3), то функция есть решение однородного уравнения (8.6.2). Уравнение (8.6.3) называется характеристическим уравнением для уравнения (8.6.2).
Теорема: Если корни характеристического уравнения (8.6.3) вещественные и 
, то общее решение однородного уравнения (8.6.2) имеет вид
 .
| (8.6.4) |
Если корни характеристического уравнения (8.6.3) вещественные и равные 
, то общее решение однородного уравнения (8.6.2) имеет вид
 .
| (8.6.5) |
Если корни характеристического уравнения (8.6.3) комплексные 
, то общее решение однородного уравнения (8.6.2) имеет вид
 ,
| (8.6.6) |
где 
, 
.
Во всех трех случаях 
и 
– произвольные постоянные.
Заметим, что в последнем случае корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представляют собой комплексно–сопряженные числа в алгебраической форме.
Пример
Решить задачу Коши 
, 
, 
.
Решение
Решение ищем в виде . Подставляя решение в уравнение, находим характеристическое уравнение 
. Его корни: 
, 
. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид: 
. Найдем такие значения постоянных и , при которых выполняются заданные начальные условия. Так как 
, 
, то постоянные и находим, решая систему:
. Частное решение уравнения имеет вид 
.
Пример
Решить задачу Коши 
, 
, 
.
Решение
Решение ищем в виде . Подставляя решение в уравнение, находим характеристическое уравнение 
. Его корни: 
. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид: 
. Найдем такие значения постоянных и , при которых выполняются заданные начальные условия. Так как , т.е. 
; 
, то 
. Таким образом, частное решение имеет вид 
.
Перейдем теперь к решению линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Это уравнение может быть в частности решено методом вариации постоянных, который состоит в следующем. Сначала находится общее решение однородного уравнения 
. Затем предполагается, что постоянные и являются функциями независимой переменной 
. При этом функции 
и 
могут быть найдены как решения системы:
 .
| (8.6.7) |
Пример
Решить уравнение 
.
Решение
Решение однородного уравнения есть функция . Полагая теперь, что и являются функциями независимой переменной , найдем первые производные этих функций, решая систему: 
.
Найдем 
, 
. Полученные дифференциальные уравнения – с разделяющимися переменными. Решая эти уравнения, получаем: 
, 
. Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид: 
.
Обратим внимание на структуру полученного решения. Первые два слагаемых – это общее решение однородного уравнения, последнее – частное решение неоднородного уравнения.