Уравнение поверхности и линии в пространстве

1) Основные понятия

Поверхность в пространстве, как правило можно рассматривать как геометрическое место точек удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в т.О1.есть геометрическое место точек удаленных от т. О1 на расстояние R. Прямоугольная система координат Oxyz позволяет однозначно установить соответствие между точками пространства и тройками чисел x,y,z- их координатами. Свойства, общие всем точкам, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Уравнение данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называют уравнением вида F(x,y,z)=0, с тремя переменными x,y,z которому удовлетворяют координаты каждой точки лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащие на поверхности.

2) Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек общих двум поверхностям. Если F1(x,y,z)=0 и F2(x,y,z) уравнения двух поверхностей, то координаты линии их пересечения (L) должно удовлетворять системе двух уравнений с тремя неизвестными

-это уравнение линии в пространстве.

Линию в пространстве можно рассматривать и как траекторию движения точки. В этом случае ее задают векторным уравнением r=r(t) или параметрическим уравнениями.

-проекции вектора rна оси координат.

 

3) Уравнение прямой в пространстве

1. Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку M0 на прямой и вектор параллельный этой прямой. Вектор - называется направляющим векторомпрямой. Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0,y0,z0) и направляющим вектором (m,n,p). Возьмем на прямой L произвольную точку M(x,y,z). Обозначим радиус –
r
M
M0
L
x
y
векторы точек M0 и M соответственно через и . Очевидно, что = + . Вектор М, лежащий на прямой L параллелен направляющему вектору ,поэтому M=t , где t- скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки M на прямой (рис.1.). Тогда уравнение можно записать в виде = +t - векторное уравнение прямой.

2. Параметрическое уравнение прямой

Поскольку =(x,y,z), =(x0,y0,z0), t =(tm,tn,tp), то уравнение прямой можно записать в виде:

. Отсюда - параметрическое уравнение прямой в пространстве.

 

Рис.1.
3. Каноническое уравнение прямой

исключая из параметрического уравнения прямой t получим:

- каноническое уравнение прямой.

4. Уравнение прямой проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2). В качестве направляющего вектора можно взять , т.е. = , следовательно, m=x2-x1 , n=y2-y1, p=z2-z1 . поскольку наша прямая проходит через т.M1(x,y,z) то каноническое уравнение примет вид :

- уравнение прямой проходящей через две точки.

5. Угол между прямыми

Пусть L1 и L2 заданы уравнениями

. Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами 1(m1,n1,p1) и 2(m2,n2,p2).Поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами получим или

Если L1 перпендикулярна L2 , то в этом случае cosφ=0, следовательно

 

Если L1 || L2 , то векторы 1 || 2 и координаты векторов 1 и 2 пропорциональны:

.

 

4) Уравнение плоскости в пространстве.

 

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать различными способами и каждому из них соответствует конкретное уравнение.

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M0(x0,y0,z0) и вектором =(A,B,C) перпендикулярным этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор . Так как перпендикулярен Q, то вектор перпендикулярен вектору , поэтому их скалярное произведение , т.е.

(1)

-это уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярную вектору . Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости. Придавая коэффициентам A,B,C различные значения можно получить уравнения любых плоскостей проходящих через т.M0 .

2. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x,y и z.

(2)

Полагая , что по крайней мере , один из коэффициентов A,B или C≠0, например B≠0, перепишем его в виде:

Сравнивая полученное уравнение с ранее полученным (1) видим, что последнее является уравнением плоскости с нормальным вектором =(A,B,C), проходящее через точку . Итак уравнение (2) определяет в пространстве Oxyz некоторую плоскость. Это уравнение и называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи:

а) Если D=0, то . Этому уравнению отвечает т.O(0,0,0)-начало координат. Следовательно, эта плоскость проходит через начало координат;

б) Если C=0, имеем , вектор (A,B,0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна Oz; B=0 , то || оси Oy; A=0, то || оси Ox.

в) Если C=D=0, то плоскость проходит через т.O(0,0,0) и || Oz, то есть проходит через ось Oz;

г) Если A=B=0, то Cz+D=0, то есть Z= , плоскость || плоскости Oxy;

д) Если A=B=D=0, то Cz=0 , то есть Z=0 , это уравнение плоскости Oxy.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки в пространстве не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q ,проходящей через три данных точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим векторы ; и . Эти векторы компланарны. Используя условия компланарности трех векторов (их смешанное произведение=0) получим:

т.е.

(1)

-это уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

4. Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно отрезки ,b,c. То есть она проходит через три точки A( ,0,0),B(0,b0) и C(0,0,c). Подставляя в уравнение (1) получим:

 

=0. Раскрыв определитель имеем:

или -уравнение плоскости в отрезках на осях.

5. Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q можно определить заданием единичного вектора , совпадающего с направлением OK – перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость и длинной этого перпендикуляра (рис.2)
Рис.2.
M
k
x
y
Пусть OK=P, а α, β и γ-углы , образованные вектором с осями Ox, Oy и Oz. Тогда = . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор

= =(x,y,z). При любом положении

точки M на плоскости Q проекция вектора на направление вектора всегда равно p.

т.е. или - это нормальное уравнение плоскости. Зная координаты r и e можно его переписать в следующей форме:

6. Угол между двумя плоскостями

пусть заданы две плоскости Q1 и Q2:

Под углом между плоскостями понимают один из двугранных углов образованных этими плоскостями. Угол φ между нормальными векторами (A1,B1,C1) и (A2,B2,C2) плоскостей Q1 Q2 равен одному из этих углов. Поэтому или . Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Если Q1 перпендикулярнa Q2, то вектор перпендикулярен вектору , тогда вектор =0, то есть .

полученное равенство есть условие перпендикулярности Q1 и Q2 . Если Q1 || Q2 , то || , тогда координаты векторов пропорциональны, то есть - это условие параллельности Q1 и Q2.

7. Расстояние от точки до плоскости.

z
Пусть дана точка M0(x0,y0,z0) и плоскость Q с уравнением (Pис.3) Найдем d- расстояние от точки до плоскости. Расстояние d от точки M0 до плоскости Q равно модулю проекции вектора M1M0 (Рис.3), где M1(x1,y1,z1)- произвольная точка плоскости Q на направление нормального вектора =(A,B,C).Следовательно =

 

 
M0
Q
=

d

Так как т.M1 принадлежит Q, то

M1
y
,и , тогда уравнение примет вид:

X
Рис.3 .

8.Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая L уравнением
L

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рис.4

Пусть φ- угол между Q и L, а - угол между =(A,B,C) и =(m,n,p) (Рис.4). Тогда

,а и так как Sinφ≥0 получим:

-искомый результат.

Если L || Q , то , поэтому =0, то есть является условием параллельности L и Q.

Если L Q , то и ||, поэтому -условия перпендикулярности L и Q.

9. Пересечение прямой с плоскостью

Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

 

Для этого надо решить систему этих уравнений. Проще всего это сделать если записать уравнение прямой в параметрической форме:

Подставляя эти значения в уравнение плоскости получим или , если L не || Q, то есть если , то получим , подставляя t в записанные выше уравнение прямой в параметрической форме координат, получим их значения в точке пересечения L и Q.