Задачи для контрольных работ

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

1-10. Найти векторное произведение векторов ,

, угол между и , угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11-20. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты СD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и определить координаты точки пересечения этой прямой с высотой СD; 7) уравнение окружности, для которой медиана АЕ является диаметром; 8.) доказать, что и образуют базис в R2 и разложить в этом базисе.

Сделать чертеж.

11. А (4; 0), В (7; 4), С (8; 2)

12. А (2; 2), В (5; 6), С (6; 4)

13. А (0; 2), В (3; 6), С (4; 4)

14. А (4; 1), В (7; 5), С (8; 3)

15. А (3; 2), В (6; 6), С (7; 4)

16. А (-2; 1), В (1; 5), С (2; 3)

17. А (4; -3), В (7; 1), С (8; -1)

18. А (-2; 2), В (1; 6), С (2; 4)

19. А (5; 0), В (8; 4), С (9; 2)

20. А (2;3), В (5, 7), С (6; 5)

 

21-30. Привести к нормальному виду уравнение окружности.

 

21. 22. 23.

 

24. 25. 26.

 

27. 28. 29.

 

30.

 

 

31-40. Установить, какие линии определяются нижеследующими уравнениями. Найти полуоси, фокусы, эксцентриситеты соответствующих кривых. Построить чертеж.

 

31. 32. 33. 34.

 

35. 36. 37. 38.

 

39. 40.

Элементы линейной алгебры

41-50. Решить систему уравнений по правилу Крамера.

41. 3х + 2у + z = 5 5х + 8у – z = –7 42. х + 2у + 4z = 31 х + 2у + z = 4

а) 2х + 3у + z = 1 б) х + 2у + 3z = 1 а) 5х +у + 2z = 29 б) 3х – 5у + 3z = 1

2х + у + 3z = 11 2х – 3у + 2z = 9 3х – у + z = 10 2х + 7у – 7z = 8

               
   
 
       
 
 


43. 4х – 3у +2z = 9 3х + 2у + z = 5 44. 3х – у = 5 х + 2у + 4z = 31

а) 2х + 5у – 3z = 4 б) 2х + 3у + z = 1 а) –2х + у + z = 0 б) 5х +у + 2z = 29

5х + 6у – 2z = 18 2х + у + 3z = 11 2х – у + 4z = 15 3х – у + z = 10

           
   
     
 


45. 3х – у + z = 4 4х – 3у +2z = 9 46. 2х – у – 3z = 3 3х – у = 5

а) 2х – 5у – 3z = –17 б) 2х + 5у – 3z = 4 а) 3х + 4у – 5z = 8 б) –2х + у + z = 0

х + у – z = 0 5х + 6у – 2z = 18 2у + 7z = 17 2х – у + 4z = 15

 
 


47. 3х + 4у + 2z = 8 х + у + 2z = – 1 48. 2х + у + 4z = 20 3х – у = 5

а) 2х – у – 3z = –1 б) 2х – у + 2z = – 4 а) 2х – у – 3z = 3 б) –2х + у + z =0

х + 5у + z = 0 4х + у + 4z = –2 3х + 4у – 5z = – 8 2х – у + 4z = 15

       
   
 
 


49. х + 5у – z = 7 3х – у + z = 4 50. 11х + 3у – z = 2 х + у + z = 2

а) 2х – у – z = 4 б) 2х – 5у – 3z = –17 а) 2х + 5у – 5z = 0 б) 2х – у – 6z = – 1

3х – 2у + 4z = 11 х + у – z = 0 х + у + z = 2 3х – 2у = 8

 

51-60. Найти:

а) обратную матрицу А-1 для матрицы А. Проверить равенство А · А-1 = А-1 · А = Е, где Е – единичная матрица,

б) матрицу D=AB-BA+A-1 +BT , здесь BT получается из В её транспонированием.

               
       


1 2 –3 2 3 – 2 1 2 –3 2 3 –2

51. А = –1 –1 2 , В= 0 0 3 52. А = 0 1 2 , В= 1 2 3

2 4 –5 3 5 – 4 0 0 1 1 1 2

                               
   
       
               
 
 


3 –4 5 4 – 3 6 1 2 2 2 3 3

53. А = 2 –3 1 , В= 3 – 2 2 54. А = 2 1 –2 , В= 3 2 –1

3 –5 –1 4 – 4 0 2 –2 1 3 –1 2

                       
       
       
 


0 1 3 1 2 4 1 3 5 2 4 6

55. А = 2 3 5 , В= 3 4 6 56. А = 2 7 –8 , В= 3 8 –7

3 5 7 4 6 8 –1 –3 4 0 –2 5

               
       


1 2 –3 2 3 –2 5 3 1 6 4 2

57. А = 3 2 –4 , В= 4 3 –3 58. А = 1 –3 – 7 , В= 2 –2 –1

2 –1 0 3 0 1 –5 2 1 – 4 3 2

                               
   
       
   
           
 
 
 


1 –2 –3 2 –1 –2 1 –2 2 2 –1 3

59. А = 1 –1 –2 , В= 2 0 –1 60. А = 2 –5 7 , В= 3 – 4 8

2 –3 –4 3 –2 –3 4 9 –10 5 10 –9

 

 

61-70. Решить системы уравнений двумя способам: 1) методом Гаусса, 2) средствами матричного исчисления.

       
 
   
 


61. 5х + 8у – z = – 7 62. х + 2у + z = 4

х + 2у + 3z = 1 3х – 5у + 3z = 1

2х – 3у + 2z = 9 2х + 7у – z = 8

63. 2х – у – z = 4 64. х + у + 2z = – 1

3х + 4у – 2z = 11 2х – у + 2z = – 4

3х – 2у + 4z = 11 4х + у + 4z = – 2

       
 
   
 


65. х + у + z = 2 66. 2х + у – z = 1

2х – у – 6z = – 1 х + у + z = 6

3х – 2у = 8 3х – у + z = 4

 

67. х + 5у + z = -7 68. х – 2у + 3z = 6

2х – у – z = 0 2х + 3у – 4z = 16

х – 2у – z = 2 3х – 2у – 5z = 12

       
   


69. 2х – у + 3z = 7 70. х – у = 4

х + 3у – 2z = 0 2х + 3у + z = 1

2у – z = 2 2х + у + 3z = 11

 

Введение в математический анализ

71-80. Найти пределы числовых последовательностей хn.

           
 
n2 + 5 хn = , n2 - 3
 
– n3 + 1 хn = , n + 5
 


71.

 

           
   
 
n2 – 2n + 1 хn = , n3 - n
   
17n2 – 3 хn = , 1 – n5
 

 


72.

 

       
   
 


73.

 

 

 
 
n +7 хn = , √ n4+3


3n – 4 n хn = 3n + 2
n2 - 1 хn = , 2 n2 + 1
74.

 

           
 
n3 + n хn = , n4 – 3n2 + 1
 
   
 

 


75.

 

           
 
n3 хn = – n, n2 + 1
 
   
5 – n хn = , 2 n2+n + 1
 

 


76.

 

       
 
   

 


77.

 

       
   
 
 

 


78.

 

           
 
   
     
 

 


79.

 

 

       
 
   

 


80.

 

81-90. Найти указанные пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

 
 
х2 – 5х – 14 lim х→а 2х2 + х - 6


81. а) а = 2; б) а = –2; в) а = ∞

             
   
 
   
 
 
 
3х2 – 7х + 2 lim ; х→а 6 – х – х2

 

 


82. а) а = 1; б) а = 2; в) а = ∞

           
   
 
   

 


х2 – 7х - 8 lim ; х→а 2х2 + 5х + 3
83. а) а = – 2; б) а = – 1; с) а = ∞

 

           
 
     
 
 
 
 
4х2 – 3х – 1 lim ; х→а 5х – х2 – 4

 

 


84. а) а = – 1; б) а = 1; с) а = ∞

           
   
 
   
  lim (1– 2sin x)2/x х→0

 

 


       
   
 
 
х2 + 3х + 2 lim ; х→а 3х2 – 2х – 16

 


85. а) а = 2; б) = – 2; в) а = ∞

       
 
 
   
arctg2 х lim , х→0 sin 4x

 

 


2х tg 4х lim , х→0 sin2 6х

 

 
 
2х2 – х – 6 lim ; х→а 5х – х2 – 6


86. а) а= 1; б) а = 2; в) а = ∞

 
 

 


  lim (1+2sin x)3/sinx x→0
arcsin 5х lim , х→0 arctg 7x
sin 2х tg 3 х lim , х→0 х2

 

       
   
 
 
х2 + 8х + 7 lim ; х→а 3х2 – х – 4

 

 


87. а) а = – 2; б) а = – 1; в) а = ∞

           
   
 
 
sin 7х lim , х→0 tg 3 х
 

 


 

 

88. а) а = – 1; б) а = 1; в) а = ∞


 

       
 
4х cos 5х lim , х→0 sin 8х
 
x arcsin х lim , х→0 sin x2


 

х2 – 5х – 14 lim ; х→а 2х2 + 3х – 2

89. а) а = 2; б) а = – 2; в) а = ∞

 

arcsin (17х2) lim , х→0 sin 5x
5х tg 2 х lim , х→0 sin2 4х

 
 
3х2 – х – 10 lim ; х→а 7х – х2 – 10


90. а) а = 1; б) а = 2; в) а = ∞

       
   
 
 
sin 6 х tg 2х lim , х→0 х2

 


,

 

91-100. Функция у задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: 1) найти точки разрыва функции у; 2) найти односторонние пределы и скачок функции в точке разрыва; 3) сделать чертеж.

       
   


91. у = х2– 4, если х ≤ 2 92. у = 9– х2, если х ≤ 1

6–2х, если х > 2 2х+3, если х > 1

       
 
   
 


93. у = 4х+5, если х ≤ -1 94. у = х2+2х, если х ≤ 2

х2-4х, если х > -1 х+1, если х > 2

       
   


95. у = 2х+3, если х ≤ -1 96. у = 4-х2, если х ≤ -2

3х-х2, если х > -1 3х + 2, если х > -2

       
   


97. у = х2-2х, если х < 1 98. у = 4х+х2, если х < -2

1-4х, если х ≥ 1 2х+4, если х ≥ -2

       
 
   
 


99 у = х2+1, если х ≤ 2 100. у = х2-5, если х ≤ 1

х-3, если х > 2 1-3х, если х > 1