Выражаем данный симметрический многочлен через основные симметрические функции
Вычисляем значения основных симметрических функций от корней данного полинома.
T={-1,-4,1};
Находим значение данного симметрического многочлена от корней данного многочлена.
R[[1]]
-35
Пример 3.6.3 Найти сумму пятых степеней корней следующего многочлена
.
Решение.
<<Algebra`SymmetricPolynomials`
Вычисляем значения основных симметрических функций от корней данного полинома.
T={1,-2,-3,1};
Находим сумму пятых степеней корней данного полинома
R[[1]]
Пример 3.6.4. Пусть 
основные симметрические функции от переменных 
, 
основные симметрические функции от переменных 
. Найти зависимость между ними.
Решение.
Строим первых пять основных симметрических функций пятого порядка.
T=Table[Coefficient[f[x],x,6-n],{n,2,6}];
<<Algebra`SymmetricPolynomials`
Выражаем первые четыре основные симметрические функции пятого порядка через основные симметрические функции четвёртого порядка.
Пусть 
- рациональная функция с рациональными коэффициентами ( 
и 
- многочлены ). Предположим далее, что 
- корень уравнения 
, где - неприводимый над полем рациональных чисел многочлен степени 
. Пусть 
- остальные корни многочлена 
Ставится задача: найти многочлен 
степени меньше с рациональными коэффициентами и такой, что выполняется равенство
.
Для решения поставленной задачи умножим числитель и знаменатель дроби
на 
:
.
Знаменатель полученной дроби будет симметрической функцией от корней многочлена . Следовательно, она выражается через основные симметрические функции 
от корней этого многочлена. Поэтому, в силу соотношения (3.6.2) будет рациональным числом. В числителе произведение 
будет рационально выражаться через основные симметрические функции 
от и и, следовательно, ( мы этот факт проверили на конкретном примере, хотя он справедлив и в общем случае ) через основные симметрические функции 
от 
и . Выразив через коэффициенты многочлена по формулам (3.6.2), мы получим в числителе многочлен от с рациональными коэффициентами. Обозначим полученный многочлен через 
. Если степень полученного многочлена не меньше , то делим его на 
:
.
Отсюда находим
).
Разделив 
на полученный ранее знаменатель, мы найдём решение рассматриваемой задачи.
Пример 3.6.5. Пусть - корень уравнения
.
Освободиться от иррациональности в знаменателе следующей дроби
Решение.
Вводим заданные функции
f[x_]=x^2-5*x+3;
g[x_]=x^2+7*x+1;
u[x_]=x^3+7*x^2+3*x+1;
Находим значения основных симметрических функций от корней многочлена f[x]
Преобразуем знаменатель данной дроби.
<<Algebra`SymmetricPolynomials`
a=R1[[1]]/.R;
R3=Expand[R3/.R];
Находим окончательные результаты преобразований
