Арифметическое векторное пространство.

и не все числа a₁, . . . , a равны нулю, то

a₁a ₁+ . . .+ a _m a _m +0×b ₁ + . . . + 0×b = 0

e₂ = (0, 1, 0, . . . , 0, 0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e _{n - 1}= (0, 0, 0, . . . , 1, 0)

e _n = (0, 0, 0, . . . , 0, 1),

называемые единичными векторами. Система векторов е₁, . . . е_n является примером линейно независимой системы. Действительно, если

a ₁ е ₁ + . . . + a _n е _n = ( a , . . . , a _n) = 0 = (0, . . . , 0),

то a₁ = . . . = a _n = 0. Другим более общим примером является система ненулевых ортогональных векторов a ₁, . . . , a . В самом деле, если

a _{1 a 1}+ . . .+ a _m a _m = 0,

то умножая обе части равенства на получим

0 = (a _k , 0)= (a _k , a₁a ₁+ . . .+ a _m a _m) = a_k (a _k , a _k ),

но (а _k , а _k ) ¹ 0 и, значит, a _k= 0 для всех k = 1, 2, . . . m.

Если вектор b можно представить в виде

b = a₁a₁+ . . .+ a _m a _m

то говорят, что b выражается линейно через a ₁, . . . , a _m или b линейно зависит от a ₁, . . . , a _m.

Т е о р е м а 1.1. Система ненулевых векторов, рассматриваемых в определенном порядке, a ₁, . . . , a _m линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы можно выразить линейно через предыдущие.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система векторов a ₁, . . . , a _m линейно зависима. Тогда существуют такие числа a₁, . . . , a _m не все равные нулю, что выполняется равенство

a₁a ₁+ . . .+ a _m a _m = 0.

Обозначим через a последний коэффициент, отличный от нуля. Если k=1, то равенство обращается в

a₁а ₁ = 0 ( a₁ ¹ 0),

откуда а ₁ = 0 вопреки предположению, что система не содержит нулевых векторов. Следовательно, 1< k £ m, и равенство мы можем переписать в виде

a₁а₁ + . . . + a _k а _k = 0 ( a _k ¹ 0),

откуда

а _k = - a a ₁ а ₁ - . . . - a a _{k - 1}а _{k - 1}.

Таким образом, первая часть теоремы доказана. Обратное утверждение очевидно. Действительно, если

а _k = b ₁ а ₁ + . . . + b _{k - 1}а _{k - 1} ,

то

b ₁ а ₁ + . . . + b _{k - 1}а _{k - 1} + (-1)а _k + 0а _{k+ 1}+ . . . + 0а _m = 0

b = a ₁a ₁+ . . .+ a _m a _m

О п р е д е л е н и е. Линейно независимая порождающая система векторов называется базисом пространства.

Примером базиса пространства Rявляется система единичных векторов е ₁ , . . . , е _n , называемая единичным базисом. Действительно, произвольный вектор b = (b ₁ , . . . , b _n ) представим в виде

b = b ₁ e ₁+ . . .+ b _n e _n ,

а линейную независимость мы показали выше.

Л е м м а . Если порождающая система векторов а ₁ , . . . , а _m содержит вектор а _k , который можно линейно выразить через остальные, то, выбрасывая а _k из системы, мы снова получим порождающую систему векторов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, по условию каждый вектор b пространства представляется в виде

b = a _{1 a 1} + . . . + a _k a _k + . . . + a _m a _m , (2)

а вектор а _k в виде

а _k = b ₁ а ₁ + . . . + b _{k - 1} а _{k - 1} + b _k+1а _k+1 + . . . + b _m а _m . (3)

Подставляя (3) в (2) и приводя подобные, получим

b = (a₁ + a _k b ₁ )a _k + . . . + (a_{k - 1} + a _k b _{k - 1} )a _{k - 1} +

+ (a_k+1+ a _k b _k+1)a _k+1 + . . . + (a _m + a _k b _m )a _m .

b , a , . . . , a (7)

где через а , . . . , а обозначены оставшиеся из векторов системы (4). В силу леммы система (7) будет все еще порождающей системой. Рассмотрим систему

b ₂ , b ₁ , a , . . . ,a . (8)

Эта порождающая система линейно зависима, так как вектор b ₂ выражается линейно через остальные ее вектора. Следовательно, по теореме 1.1 один из векторов системы должен выражаться линейно через предыдущие. Этот вектор должен быть одним из а , . . . , а , так как b ₁и b ₂ линейно независимы. Выбрасывая его из системы получим порождающую систему

b ₂ , b ₁ , a , . . . , a .

Продолжая рассуждения, через m шагов мы получим порождающую систему

b _m , . . . , b ₁ .(9)

Это означает, что любой вектор пространства, в частности и вектор b _m+1, можно выразить линейно через вектора системы (9), а это противоречит линейной независимости системы (5). Следовательно наше предположение о существовании базисов с различным числом векторов неверно.

С л е д с т в и е 1. Все базисы пространства R состоят из n векторов.

Действительно, согласно предыдущей теореме число векторов любого базиса совпадает с числом векторов единичного базиса е ₁ , . . . , е _n .

С л е д с т в и е 2. Любая порождающая система пространства R, состоящая из n векторов, является базисом пространства.

Действительно, если порождающая система из n векторов оказалась бы линейно зависимой, то удалив из системы вектора, линейно выражающиеся через остальные, мы получили бы базис пространства, состоящий из менее чем n векторов.

С л е д с т в и е 3. Любая линейно независимая система , состоящая из n векторов, является базисом пространства R .

Действительно, пусть а ₁ , . . . , а _n такая система. Присоединим к ней произвольный базис b ₁ , . . . , b _n . Расширенная система a ₁ , . . . , a _n , b ₁, . . . , b _n является порождающей. Удалив из системы все вектора, которые линейно выражаются через предыдущие, получим линейно независимую порождающую систему векторов, т. е. базис пространства. Но удалить прийдется n векторов, а именно все вектора b ₁ , . . . , b _n , т. к. ни один вектор а _k не может выражаться линейно через предыдущие. Таким образом система векторов а ₁ , . . . , а _nявляется базисом пространства.

З а м е ч а н и е. Понятие базиса естественным образом распространяется на подпространства X пространства R . Теорема 1.3, в этом случае, сохраняет свою силу. Число векторов, содержащихся в базисе подпространства X, называется размеренностью подпространства.

Пусть а ₁ , . . . , а _n - базис пространства. Согласно определению базиса всякий вектор а пространства будет линейно выражаться через вектора базиса. Покажем, что такое выражение возможно только единственным образом. В самом деле, пусть

а =a ₁ а ₁+ . . . +a _n а _n

и

а = b ₁ а ₁ + . . . + b _n а _n .

Вычитая, мы получим

0 = (a₁ - b ₁)а ₁ + . . . + (a _n - b _n)а _n

Так как базис - линейно независимая система, то a ₁ - b ₁ = 0, . . . , a _n - b _n = 0, или a ₁ = b ₁ , . . . , a _n = b _n что и требовалось. Числа a ₁, . . . , a _n называются координатами вектора а относительно базиса а ₁ , . . . , а _n . Методы нахождения координат будут рассмотрены в главе 3.

ГЛАВА 2

Матрицы

Действия с матрицами.

Произвольная совокупность действительных чисел, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей размерности (m, n). Чтобы записать матрицу, выписывают в надлежащем порядке обозначения ее элементов и получившуюся таблицу заключают в скобки или ограничивают двойными чертами. В дальнейшем матрицы будут обозначаться большими буквами. Таким образом матрицу А размерности (m, n) можно записать в виде

А = , или А = .

где а - элемент, стоящий в строке i и столбце j. Часто вместо такой подробной записи употребляют сокращенную: || a _ij || _mn .

Заметим, что вектор-строка является матрицей, состоящей из одной строки, а вектор-столбец можно рассматривать, как матрицу, состоящую из одного столбца. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а общее число ее строк и столбцов называется порядком матрицы.

Две матрицы называются равными, если числа строк и столбцов у них соответственно равны и если равны числа, стоящие на соответственных местах этих матриц.

Основными матричными операциями являются умножение матрицы на число, сложение и перемножение двух матриц.

По определению, чтобы умножить матрицу А на число a нужно умножить на a все элементы матрицы А. Например,

7× = ×7 = .

Суммой двух матриц А и В, имеющих соответственно равные числа строк и столбцов, называется матрица, имеющая ту же размерность и элементы, равные суммам соответствующих элементов матриц А и В. Например,

+ = .

Из этих определений непосредственно вытекают соотношения:

1. (ab)А = a(bА) ;

2. A +(B + C) = (A + B) + C;

3. A + B = B + A;

4. (a + b)A = aA + bA;

5. a(A + B) = aA + aB.

Введем обозначение (-1)А = -А. Для краткости вместо А + (-В) обыкновенно пишут А - В.

У м н о ж е н и е м а т р и ц. В отличие от операций сложения и умножения на число операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом. Именно пусть заданы матрицы А и В, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если А - (m, k)-матрица, В - (k, n)-матрица вида

А = , В = ,

то произведением А на В называется (m, n)-матрица С = ||с _ij || _{m n} , элементы которой вычисляются по формуле

c_ij= a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + . . . + a_in b_nj ( i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).

Например,

= = .

Произведение двух матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Например,

= ,

= .

Если рассматривать матрицы не квадратные, то может случиться даже, что произведение двух матриц в одном порядке будет иметь смысл, а в обратном - нет.

Вектор можно рассматривать как матрицу, состоящую из одной строки или одного столбца. В результате умножения матрицы на вектор или вектора на матрицу получается вектор. Например,

= = ,

[ 3, 5, 1] × =

= [ 3´1+5´2+1´3, 3´3+5´1+1´4, 3´1+5´2+1´2] == [ 16, 18, 15].

Приведем без доказательства основные свойства умножения матриц.

6. a(АВ) = (aА)В; А(aВ) = (Аa)В; (АВ)a = А(Вa).

7. (А + В)С = АС + ВС.

8. С(А + В) = СА + СВ.

9. А(ВС) = (АВ)С.

Т р а н с п о н р о в а н и е м а т р и ц. Рассмотрим произвольную матрицу

А =

размерности (m, n).

Матрица

А =

размерности (n, m), получающаяся из А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к А. В дальнейшем штрихом всегда будет обозначаться переход к транспонированной матрице.

П р и м е р. Пусть

А = .

Тогда

А =

Для любых матриц А и В имеют место следующие правила транспонирования

(aА + bВ) = aА + bВ

(АВ) = В А .

Квадратная матрица А называется симметрической если

А = А,

если же

А = - А,

то матрица называется кососимметрической. Элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, у симметрической матрицы равны ( а_{i j} = а_{j i} ) , а у кососимметрической противополжны (а_{i j} = - а_{j j}).

П р и м е р. Матрица

А =

является симметрической, матрица

В =

кососимметрической.

Квадратные матрицы.

Выше уже отмечалось, что не любые две матрицы можно сложить или перемножить так как для осуществления таких операций необходимы известные соотношения между числами строк и столбцов. Это неудобство исчезает, если рассматривать только квадратные матрицы некоторого фиксированного порядка n. Любые две такие матрицы можно сложить или перемножить и в результате снова получится квадратная матрица того же порядка.

Особую роль среди квадратных матриц играет матрица Е, все диагональные элементы которой равны 1, а остальные - нулю, называемая единичной матрицей. Таким образом матрица Е имеет вид

Е = .

Непосредственным вычислением можно показать, что для любой квадратной матрицы А имеет место равенство

АЕ = ЕА = А,

выражающее основное свойство матрицы Е. Заметим также, что для любого вектор-столбца а размеренности n ( а - вектор-строка) выполняются равенства

Еа = а,

а Е = а .

Квадратная матрица А называется обратимой, если существует матрица Х, удовлетворяющая условию

АХ = ХА = Е.

Матрица Х, удовлетворяющая этому условию, называется матрицей, обратной к А, или обращением матрицы А. Заметим, что, если обращение матрицы существует, то оно единственно. Действительно, если существует второе обращение Y, то из равенств

X = XE= X(AY) = (XA)Y = EY = Y

следует, что X = Y.

Обращение матрицы А, если оно существует, обозначается А^{- 1}. Таким образом, по определению

АА^{- 1}= А^{- 1}А = Е.

Н а х о ж д е н и е о б р а т н о й м а т р и ц ы. Обозначим через Т (a) матрицу, отличающуюся от единичной только тем, что вместо единицы на i-м месте диагонали, т. е. в строке i и столбце i, стоит число a. Результатом произведения матрицы Т_ii (a) слева на матрицу А является матрица Т_ii (a)А, отличающаяся от матрицы А только строкой с номером i . В результирующей матрице элементы строки i будут иметь вид aа_ij ( j = 1, . . . , n), т. е. элементы строки i матрицы А умножаются на число a. Поэтому умножение матрицы Т_ii (a) слева на матрицу А будем называть “операцией умножения строки на число”.

П р и м е р. Пусть

А = , Т₂₂(3) = .

Тогда

Т₂₂ (3)А = = .

Обозначим через Т_{i j} (a) (i ¹ j)матрицу отличающуюся от единичной матрицы только одним элементом, стоящим в строке i и столбце j. Вместо нуля, стоящего на этом месте в единичной матрице, в матрице Т_{i j} (a) стоит число a. Матрица Т_ij (a)А будет отличаться от матрицы А только строкой с номером i . Элементы этой строки будут иметь вид а_{i k} + aа_{j k} ( k = 1, . . . , n ), т. е. к элементам строки i прибавляются элементы строки j, умноженные на число a. Поэтому умножение матрицы Т_ij (a) слева на матрицу А будем называть “операцией сложения строк”.

П р и м е р. Рассмотрим умножение матрицы А, из предыдущего примера, на матрицу Т₂₃ (2).

Т₂₃ (2)А = = = .

Предположим, что матрицу А можно привести к диагональному виду с помощью некоторой последовательности операций сложения строк и умножения строки на число. Тогда, применяя ту же последовательность операций к единичной матрице, получим обратную матрицу.

Действительно, применение данной последовательности операций к матрице А можно записать в виде произведения

Т (a ) × × × Т (a )А.

Следовательно,

Т (a ) × × × Т (a )А = Е,

используя свойства единичной матрицы, получим

( Т (a ) × × × Т (a )Е )×А = Е.

Последнее равенство означает, что

Т (a ) × × × Т (a )Е = А .

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.

П р и м е р. Пусть

А = .

Для нахождения обратной матрицы запишем расширенную матрицу, присоединив к матрице А матрицу Е

.

Операции сложения строк и умножения строки на число будем производить над расширенной матрицей, таким образом одни и те же операции будут выполняться над матрицами А и Е. В результате проведенных преобразований первый столбец должен принять вид 1, 0,0. Для этого прибавим ко второй строке первую, а из третей строки вычтем первую, умноженную на два. В результате получим

Во втором столбце на втором месте должна стоять единица. Для этого разделим вторую строку на два (или умножим на 1/2). В результате получим

.

Для обращения в ноль двух оставшихся элементов столбца вычтем из первой строки вторую, умноженную на 2, а к третьей прибавим вторую, умноженную на 3. В результате получим

.

Для того чтобы привести третий столбец к требуемому виду прибавим к первой строке третью, а из второй вычтем третью, умноженную на 2. Окончательно получим

.

Матрицу А мы привели к единичному виду. следовательно обратная матрица равна

А = .

П р о в е р к а.

=

= .

Строки матрицы А можно рассматривать как вектора пространства R и применять к ним понятие линейной независимости.

Максимальное число линейно независимых вектор строк матрицы А называется рангом матрицы А или, подробнее, рангом по строкам.

Квадратную матрицу А размеренности n будем называть невырожденной если ее ранг равен n, т.е. если все строки матрицы линейно независимы.

Т е о р е м а 2.1. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица А имеет обратную. Обозначим через а i-ю строку матрицы А. Тогда условие линейной зависимости

a а + . . . + a а = 0