Решения волнового уравнения

Убедимся теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего, мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т.е. принцип суперпозиции. Еще мы хотим доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в одном нашем уравнении.

Нетрудно показать, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, описывается выражением вида f(x – vt). Посмотрим теперь, является ли f(x – vt) решением волнового уравнения. Вычисляя du/dx , получаем производную функцию du/dx = f'(x – vt). Дифференцируя еще раз, находим

. (3.16)

Дифференцируя эту же функцию u по t, получаем значение –v, умноженное на производную, или du/dt = –vf'(x – vt); вторая производная по времени дает

(3.17)

Очевидно, что f(x – vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c_s.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c_s и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных x, т.е. звуковое возмущение вида u(x, t) = g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространяется слева направо, заключается в знаке v, но знак d²u/dt²не зависит от выбора x+vt или x-vt, потому чтов эту производную входит только v². Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c_s.

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, что мы нашли одно решение, скажем u₁. Это значит, что вторая производная u₁по x равна второй производной u₁по t, умноженной на 1/ . И пусть есть второе решение u₂, обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

u(x, t) = u₁(x, t) + u₂(x, t). (3.18)

Теперь мы хотим удостовериться, что u(x, t)тоже представляет некую волну, т.е. u тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

(3.19)

и вдобавок

(3.20)

Отсюда следует, что d²u/dx²= (1/ ) d²u/dt²,так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что полученное волновое уравнение линейно по u.

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси x, и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлетворяет волновому уравнению

(3.21)

где с – скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к уравнение для звука.