Скорость распространения упругих волн

В твердой среде

 

Пусть в однородной и изотропной упругой твердой среде в направлении оси 0х распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δх (рис. 4.1).

Смещения u частиц, как было показано ранее (рис. 8), являются функциями координаты х, поэтому смещения частиц на основаниях цилиндра с координатами х и х+Δх, соответственно, будут u и u+Δu. Выделенный объем цилиндра либо растягивается, либо сжимается в зависимости от знака абсолютной деформации Δu (Δu > 0 – деформация растяжения и Δu < 0 – деформация сжатия). Величина средней относительной деформации (растяжение или сжатие, приходящаяся на единицу длины цилиндра) равна Δu/Δх. Поскольку u не является линейной функцией х (рис. 4.2), она остается зависящей от х - истинная относительная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинаковой. Чтобы получить относительную деформацию u в сечении х, нужно перейти к пределу Δх→0 и записать

(4.1)

где мы ввели символ частной производной, поскольку абсолютная деформация u является функцией двух переменных – координаты х и времени t

u = u(x,t)

х
х+Δх
u+Δu  
S
u
σ(х+Δх+u+Δu)  
σ(х+u)  
х
Рис. 4.1. Упругая волна в твердой среде

 

 


Процедура введения истинного значения относительной деформации ε в данной точке среды аналогична процедуре введения понятия мгновенной скорости, когда ставится задача определения скорости точки в данный момент времени

 

du/dx=0
du/dx>0
du/dx<0
x
u
Рис. 4.2. Производная деформаций

 


Наличие продольных деформаций свидетельствует о существовании нормального напряжения σ, для малых деформаций, в соответствии с законом Гука, пропорционального величине относительной деформации du/dx:

где Е – модуль Юнга данной среды.

Закон Гука: деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе.

Следует отметить, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении некоторого предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для некоторых сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Модуль Юнга (модуль продольной упругости) – физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга. В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на метр в квадрате (н/м2) или в паскалях (Па).

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

где:

- F - нормальная составляющая силы;

- S - площадь поверхности, по которой распределено действие силы,

- l - длина деформируемого стержня,

- - модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l).

Значения модуля Юнга для некоторых материалов приведены в табл. 4.1.

Отметим, что относительная деформация du/dx, а, следовательно, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависит от х (рис. 4.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжения равны нулю (тангенс угла наклона касательной, которая представляет собой производную du/dx, равна нулю). В местах, где частицы проходят через положения равновесия, относительные деформации и напряжения достигают максимальных значений, причем положительные и отрицательные деформации (растяжения и сжатия) чередуются друг с другом (производная du/dx в этих точках меняет знак: касательные в этих точках составляют либо острый, либо тупой угол с осью 0х). В соответствии с этим продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.

 

Таблица 4.1