Линейные компьютерные экономико-математические модели

Лекция № 1

История применения математических методов в экономике. Понятие модели Слово «экономия», от которого произошли такие понятия, как «экономика», «экономическая наука» и т. д., в переводе с греческого имеет смысл науки о ведении домашнего хозяйства. По своему основному содержанию она должна была заниматься вопросами рационального хозяйствования. Однако поскольку богатое греческое рабовладельческое хозяйство являлось сложной производственной системой, на которой отражались все процессы, происходившие в обществе, то эта наука неизбежно затрагивала и более общие проблемы: из каких хозяйственных единиц должно состоять разумно построенное государство; в каком отношении эти единицы должны обменивать производимые ими товары; какую роль играют торговля и деньги? Проблемы экономической науки в таком виде сформулировал великий греческий философ Аристотель, которого принято считать ее основателем. Аристотель первым пытался рассмотреть экономические закономерности, господствующие в обществе, выдвинул идею о различии между потребительной и меновой стоимостями товаров, высказал мысль о превращении денег в капитал и т. д.

Таким образом, еще в Древней Греции в экономической науке возникли два направления исследований: во-первых, это анализ методов рационального управления народным хозяйством и, во-вторых, изучение основных экономических закономерностей. В дальнейшем первое направление превратилось в науку о рациональном управлении деятельностью производительных единиц любого уровня – от производственного участка до экономики в целом. Второе направление дало начало экономической теории – науке, изучающей основные экономические закономерности сменяющих друг друга общественно-экономических формаций. Оба направления экономической науки развивались и развиваются в тесной связи между собой, их общность особенно заметна в исследованиях, направленных на изучение экономики страны как целого.

Обычно в качестве исторически первой модели общественного производства называют экономическую таблицу Ф. Кене (1694 – 1774). В 1758 г. он опубликовал первый вариант своей «Экономической таблицы», второй вариант – «Арифметическая формула» - был опубликован в 1766 году. К. Маркс высоко оценил таблицу Ф. Кенэ. «Это попытка, - писал Маркс, - сделанная во второй трети XIII столетия, в период детства политической экономии, была в высшей степени гениальной идеей, бесспорно самой гениальной из всех, какие только выдвинула до сего времени политическая экономия».

Представители буржуазной политической экономии уже с середины XIX века в своих теоретических исследованиях начинают использовать все более и более сложный математический аппарат. В последнее тридцатилетие XIX века складывается самостоятельное математическое направление в буржуазной политической экономии.

2. Термин происходит от латинского слова modulus — образец. С различными моделями и модельными представлениями люди встречаются постоянною. В годы развития техники и науки от античных времен понятие модель неоднократно трансформировалось, постоянно расширяя свои границы. В современном понимании с термином модель связан очень широкий круг материальных и идеальных объектов — от образцов одежды и обуви до дифференциальных уравнений и вычислительных алгоритмов, которые используются при решении разнообразных задач, в сфере научных исследований, проектирования, управления и производства. По существу моделями являются карты дорог, фотографии, рисунки различные описания, списки и многие другие знаковые представления информации.

Модели играют огромную роль в различных науках как средство для отражения структуры и свойств различных объектов. Выбор модельных представлений часто определяет успех научных исследований, поскольку от этого выбора зависит точность и достоверность получаемых выводов, прогнозов и рекомендаций. Причем модель должна строиться так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. Таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.

В силу этой широты не существует в литературе единого, общепринятого определения понятия модель. Тем не менее, существует концептуальное единство в различных толкованиях понятий модели. Таким объединяющим признаком является информационная сущность — любая модель идеальная или материальная, используемая в научных целях, на производстве, в быту, несет информацию о свойствах и характеристиках исходного объекта, существенных для решаемой субъектом задачи. Первоначально модель это некое вспомогательное средство, объект, заменяющий в определенной ситуации другой объект. При этом античные философы полагали, что моделирование естественных процессов невозможно, что отобразить природу можно только с помощью логики, рассуждения, описания. Через несколько столетий девизом английского Королевского научного общества стал лозунг "Ничего словами!", в котором содержалась суть принципов естествознания: признавались только выводы, подкрепленные экспериментально или математическими выкладками и доказательствами. В английском языке слово science (наука) не включает области знания, которые у нас называются гуманитарными науками — там они отнесены к категории art (искусство). Долгое время понятие модель относилось только к материальным объектам специального вида (манекен, уменьшенные копии машин, судов, чучела животных и т.д.) т.е. модель здесь — это некий заместитель объекта, воспроизводящий интересующие нас свойства и характеристики оригинала и имеющие существенные удобства (наглядность, легкость оперирования, обозримость). Затем к категории моделей были отнесены также чертежи, рисунки, карты, воплощающие абстракции довольно высокого уровня, но по-прежнему реальные объекты. Следующий шаг — признание, что моделями могут быть не только реальные объекты, но и абстрактные идеальные построения. Типичный пример — математические модели. Таким образом, происходит постепенное расширение понятия модели.

Сейчас понятие "модель" относят уже к любым знаниям и представлениям о мире (хотя эта точка зрения и не является совершенно общепринятой среди специалистов, философов, логиков. При этом модели могут быть качественно различными, они образуют иерархию, в которой модель более высокого уровня (теория) содержит модели нижних уровней (например, гипотезы или постулаты) в качестве своих частей, элементов. Т.о. можно сказать, что модель — это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Важной проблемой управления предприятиями в сложных условиях рынка являются своевременное принятие правильных решений в связи с изменениями в экономической ситуации. Одним из путей решения этой проблемы является применение методов экономико-математического моделирования в управлении предприятиями, в том числе и железнодорожным транспортом.

Математические модели и методы, являющиеся необходимым элементом современной экономической науки, как на микро-, так и макроуровне, изучаются а таких её разделах, как математическая экономика и эконометрика.

Эконометрика — это раздел экономической науки, который изучает количественные закономерности в экономике при помощи корреляционно-регрессионного анализа и широко применяется при планировании и прогнозировании экономических процессов в условиях рынка.

Математическая экономика занимается разработкой, анализом и поиском решений математических моделей экономических процессов, среди которых выделяют макро- и микроэкономические классы моделей.

Роль экономико-математических методов и моделей в управлении экономическими объектами и процессами.

Любое управление в экономике связано с выработкой и принятием управленческих решений. В ходе поиска и анализа возможных решений, выбора предпочтительного из них необходимо установить, насколько Вам удалось отобрать лучший вариант, как реально "сработает" принятое решение и каковы будут его последствия. Хотелось бы, конечно, прежде чем принять окончательное решение проверить его действенность и последствия, прибегая к эксперименту. Но натурный эксперимент в экономике осуществить очень трудно, ведь любая экономическая деятельность связана с людьми, а пробовать на людях разные варианты управления, проверять их последствия опасно. Вдобавок люди ведут себя в условиях эксперимента не так, как в реальной действительности. К тому же экономические эксперименты в натуре весьма дорогостоящи и продолжительны, а в большинстве случаев просто невозможно затягивать принятие решений, ожидая пока они будут опробованы посредством эксперимента.

Поэтому в ходе выработки управленческих решений лица, готовящие их, продумывают варианты, результаты, последствия решений в своем воображении, в мысленном представлении. При этом фактически используются логические модели процессов управления, мысленные сценарии их протекания.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться в глубокой древности, постепенно захватывая всё новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принёс методу моделирования - ХХ век. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов - заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Но возможности даже квалифицированного, опытного специалиста воспроизвести в своем мозгу картину поведения объекта управления довольно ограниченно. Приходится привлекать на помощь математические расчеты, дополняющие мысленные представления, иллюстрирующие ожидаемую картину управляемого процесса в виде цифр, кривых, графиков, таблиц. Использование математических методов при формировании представлений об экономических объектах и процессах в ходе экономического анализа, прогнозирования, планирования называют применением экономико-математических методов.

Математическое моделирование опирается на математическое описание моделируемого объекта (процесса) в виде формул, зависимостей с помощью математических символов, знаков. Если же моделируемый посредством математических зависимостей, соотношений объект или процесс имеют экономическую природу, то соответствующая модель называется экономико-математической.

Основные виды экономико-математических моделей, применяемые в управлении. Существует значительное разнообразие видов, типов экономико-математических моделей, пригодных для использования в управлении экономическими объектами и процессами и в той или иной степени применяемых на практике. В предыдущем изложении были выделены аналитические и прикладные, детерминированные и стохастические модели. Экономико-математические модели делятся также на макроэкономические и микроэкономические в зависимости от уровня моделируемого объекта управления. Макроэкономические модели изучают экономику в целом, опираясь на такие укрупнённые показатели, как валовый национальный продукт, потребление, инвестиции, занятость и т.д. При моделировании рыночной экономики особое место в этом классе занимают модели равновесия и экономического роста.

Равновесные модели описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести её из некоторого состояния, равна нулю (модель «затраты – выпуск» В. Леонтьева, модель Эрроу-Добре).

Модели экономического роста описывают экономическую динамику и приводят к поиску и анализу траекторий стационарного роста: (модель Харрода-Домара, модель Солоу, модели магистрального типа).

Микроэкономические модели описывают экономические процессы на уровне предприятий и фирм, помогая решать стратегические и оперативные вопросы планирования и оптимального управления в рыночных условиях. Важное место среди микроэкономических моделей занимают оптимизационные модели (задачи распределения ресурсов и финансирования, транспортная задача, максимизация прибыли фирмы, оптимальное проектирование).

Динамические, характеризуют изменение объектов управления во времени, а статические, описывают взаимосвязи между разными параметрами, показателями объекта в одно и то же время. Дискретные модели отражают состояние объекта управления в отдельные, фиксированные моменты времени, а непрерывные характеризуют непрерывное изменение показателей деятельности объекта во времени. Имитационными называют экономико-математические модели, используемые в целях имитации управляемых экономических объектов и процессов с применением средств информационной и вычислительной техники. По типу математического аппарата, применяемого в моделях, выделяются экономико-статистические корреляционно-регрессионные модели, модели линейного и нелинейного программирования, матричные модели, сетевые модели. Возможны и другие способы классификации экономико-математических моделей.

Краткое описание, вышеизложенных моделей, позволяет понять сущность и назначение моделей этой группы, сферу их использования.

Для организации процесса автоматизированного решения задач характерно широкое применение методов математического программирования.

Математическое программирование– это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности и результатных данных.

Линейное программирование является частным случаем математического программирования. Одновременно оно — основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.