Электромагнитные волны в немагнитных анизотропных средах

Плоская монохроматическая волна. Распространение электромагнитных волн в прозрачном немагнитном кристалле описывается уравнениями Максвелла в форме

(36)

и материальным уравнением

(37)

где E и D - векторы напряженности и индукции; с - скорость света в вакууме, а по повторяющемуся (немому) индексу к предполагается суммирование. Предположение о прозрачности кристалла приводит к отбрасыванию в полных уравнениях Максвелла источников поля (плотностей заряда и тока). Свойство немагнитности (пренебрежение намагниченностью) кристалла выражается равенством Н = В.

Связь (37) между векторами Е и D осуществляется при помощи тензора диэлектрической непроницаемости ). Понятие тензора возникает при установлении линейных соотношений между внешним воздействием и реакцией на него в анизотропных средах. Скалярная величина (температура, энергия) представляется тензором нулевого ранга, векторная величина (напряженность и индукция электрического поля) - тензором первого ранга. Физические свойства кристаллов описываются тензорами разного ранга: нулевого (теплоемкость), второго (диэлектрическая проницаемость) и т.п. Связь между индукцией и напряженностью электрического поля

определяет тензор диэлектрической проницаемости , связанный с из (37) равенством

(38)

Тензоры и обладают свойством симметрии относительно перестановки индексов

Следует иметь в виду, что компоненты и тензоров и зависят, как и проекции , и векторов D и Е, от выбора системы координат (базиса).

Если переменное электромагнитное поле распространяется в кристалле в форме плоской монохроматической волны, то для полей D, Е, Н будем иметь:

(39)

где - фазовый множитель; - фаза волны; - волновой вектор; - циклическая частота. Равенство

(40)

определяет форму фронта волны - поверхности равной фазы. Легко видеть, что (40) представляет уравнение плоскости, нормаль к которой (волновая нормаль) - вектор . Можно показать, что имеют место соотношения

(41)

где - фазовая скорость света в рассматриваемой среде; п - показатель преломления среды, зависящий от направления единичного вектора волновой нормали m; - волновое число в случае вакуума, когда п = 1; и - длина волны света в среде и вакууме соответственно.

Пространственно-временная зависимость (39) полей D, Е и Н в случае плоской монохроматической волны существенно упрощает

уравнения (36), поскольку действие операторов и на поля D, Е, Н

сводится к их действию на скалярную функцию . Это дает:

В силу этого для полей вида (39) устанавливается соответствие

(42)

С учетом (42) уравнения (36) в случае (39) принимают вид:

(43)

Отсюда следует, что поля D, Е, Н имеют одинаковую фазу , причем векторы k,D,H₀ взаимно ортогональны, а Е₀ в общем случае ортогонален лишь вектору Н₀. Таким образом, поперечность электромагнитных волн в анизотропных средах сводится к тому, что векторы D₍₎ и

Н₀ лежат в плоскости волнового фронта. Общий случай пространственного расположения векторов m,k,D₍₎,H₍₎ и Е₀, удовлетворяющих (41) и (43), изображен на рис.9.

Исключив из пары векторных уравнений (43) поле Н₀ и поделив на , получим уравнение

которое после преобразования двойного векторного произведения принимает вид:

(44)

где - составляющая поля , лежащая в плоскости волнового фронта (см. рис.9).

Воспользовавшись материальным уравнением (37) и введя в рассмотрение поляризацию вектора D₀ (единичный вектор в направлении исследуемого поля)

вместо (44) запишем:

(45)

Векторному уравнению (45) соответствуют три (по числу проекций) скалярных:

(46)

Уравнение (45) позволяет по известным оптическим свойствам среды (тензор ) рассчитать соответствующие им значения показателя

преломления п, а также векторы d для волн, распространяющихся в кристалле в направлении m .

Действительно, представив (46) в форме

(47)

придем к системе однородных линейных уравнений относительно неизвестных . Критерий

существования нетривиального решения системы (47) сводится к квадратному уравнению относительно (дисперсионному уравнению). Это означает, что в общем случае существует не более двух различных значений , обозначаемых посредством .Им соответствуют два значения показателя преломления - и два значения фазовой скорости - .

Подставив

в матрицу и решив систему (47) вместе с условием нормировки

d² = 1, найдем поляризации и обеих мод плоской монохроматической волны поля D.

Можно показать, что и ортогональны. С учетом вытекающей из (43) ортогональности m и заключим: m, , взаимно ортогональны подобно m, D₀, Н₀. В случае, когда D₀ коллинеарен вектору d₀ = const, волна называется линейно-поляризованной.

Итак, при прохождении света через анизотропную среду в общем случае имеет место двойное лучепреломление - раздвоение луча, обусловленное зависимостью показателя преломления от поляризации d и направления m распространения волны. Проходящая через кристалл волна (39) распадается на две линейно-поляризованные волны, для которых имеем:

(48)

В любой оптически анизотропной среде существуют особые направления - оптические оси, - вдоль которых раздвоения луча не происходит. По числу (не более двух) этих осей кристаллы подразделяются на одноосные и двухосные.

Оптическая индикатриса. Задача нахождения и может быть проиллюстрирована геометрическими построениями, опирающимися на использование характеристической поверхности

(49)

тензора , называемой оптической индикатрисой (или эллипсоидом Пуансо).

Приведение поверхности (49) второго порядка к каноническому виду (или, что то же самое, приведение матрицы [ ] к диагональному виду) дает:

(50)

где , - собственные (главные) значения , соответственно. Главные оси индикатрисы (50) ортогональны. Длины ее полуосей именуемые главными показателями преломления, - характерные параметры вещества. Напомним, что они зависят от частоты колебаний электромагнитного поля (39). В таблице приведены некоторые данные о форме оптической индикатрисы и свойствах кристаллов.

Форма оптической индикатрисы	Соотношение между	Оптические свойства кристаллов
Сфера		Изотропные
Эллипсоид вращения		Одноосные
Трехосный эллипсоид		Двухосные

На рис. 10 изображена оптическая индикатриса двухосного кристалла вместе с характерными плоскостями и осями.

Центральным сечением называется кривая, получаемая от пересечения с оптической индикатрисой плоскости волнового фронта, проходящего через начало координат (точку 0 на рис. 10). В общем случае эта кривая - эллипс, все точки которого удовлетворяют одновременно и уравнению индикатрисы, и уравнению плоскости волнового фронта. Если по известному вектору m нормали к фронту волны провести через точку 0 ортогональную ему плоскость, то длины полуосей центрального сечения, соответствующего данному m, представляют показатели преломления, определяющие, согласно (48), фазовые скорости обеих линейно-поляризованных волн, распространяющихся в направлении m.

У оптически изотропных кристаллов (см. таблицу) индикатриса - сфера и все центральные сечения - окружности. Это означает, что показатель преломления (48) не зависит ни от направления m распространения волны, ни от ее поляризации d:

(51)

Равенство вида (51) имеет место и для оптически анизотропных веществ, но лишь для одного (одноосные кристаллы) или двух (двухосные кристаллы) направлений вектора m. Направление нормали , для которого центральное сечение (см. плоскость на рис. 10) -

окружность, называется оптической осью (или бинормалью). На рис. 10 для направлений и справедливо равенство

Для одноосных кристаллов (два различных значения главных показателей преломления) имеем:

в случае оптически положительных кристаллов:

(52)

в случае оптически отрицательных кристаллов:

(53)

Вследствие этого направления (оптические оси) и совпадают с большой ( ) главной осью эллипсоида (50) в случае (52) и малой ( ) - в случае (53). Таким образом, в одноосных кристаллах первый показатель преломления (53) не зависит от m, а второй - в разных направлениях различен. Первый показатель называют обыкновенным и обозначают ; второй - необыкновенным и обозначают , его значения зависят от направления распространения волны.

Фазовая и групповая скорости. В анизотропных средах векторы и Е₀ в общем случае неортогональны, поэтому возникает необходимость введения, наряду с вектором m, нормали к фронту волны другого единичного вектора s (называемого лучевым, или лучом), ортогонального векторам Е₀ и Н₀ (см. рис.9).

Вектор m задает направление перемещения фронта волны, т.е. направление фазовой скорости. По определению,

где величина фазовой скорости v находится из условия постоянства фазы для точек фронта волны. Продифференцировав обе части равенства (40), получим:

Отсюда с учетом (37), (38) и (41) найдем:

Важную роль в теории поля играет вектор Пойтинга

имеющий смысл плотности потока энергии. В рассматриваемом случае (39), (43) плоской монохроматической волны, распространяющейся в оптически прозрачной анизотропной среде, для лучевого вектора имеем:

Выразив Е₀ и Н₀ через D₀ при помощи (37) и (43) и введя единичный вектор d, приведем s к виду

Отсюда с учетом ортогональности векторов и (45) найдем:

Таким образом, угол между векторами D₀ и Е₀ равен углу между векторами m и s.

Для описания процесса переноса энергии электромагнитной волны вводится вектор групповой скорости u. Его направление совпадает с направлением s. В рассматриваемом случае прозрачных немагнитных кристаллов фазовая и групповая скорости связаны равенством

(54)

В общем случае для групповой скорости имеем:

Для расчета необходимо знать решение дисперсионного уравнения типа (24).

В качестве альтернативного часто используется метод, основанный на принципе перестановочной двойственности, который в нашем случае сводится к следующему:

(55)

замена (55), осуществленная в соотношениях для волн, переводит их в соотношение для лучей (и обратно).

Замена (55), выполненная в (50), приводит к уравнению

характеристической поверхности тензора (в главных осях), именуемой эллипсоидом Френеля. Главные оси взаимно-обратных (38) тензоров и совпадают, однако длины соответствующих полуосей вза- имно-обратны. Построения на эллипсоиде Френеля идентичны построениям на индикатрисе (эллипсоиде Пуансо). Направления, перпендикулярные круговым сечениям эллипсоида Френеля, называются лучевыми оптическими осями, или бирадиалями. У одноосных кристаллов бирадиали совпадают с бинормалями, а у двухосных лежат вместе с ними в плоскости оптических осей, которая ортогональна средней ( ) главной оси обоих эллипсоидов.

По заданному лучу s рассчитываются, подобно (47), (48), параметры луча:

(56)

Из (48),(54) и (56) следует

В заключение еще раз отметим, что оптические свойства кристаллов в значительной мере определяются свойствами симметрии тензоров и и геометрией соответствующих им квадратичных форм.