Пример решения задачи для СМО с ожиданием

Пример 1. В электроцехе энергетического предприятия имеется 5 ремонтных бригад (n= 5 каналов). В электроцех поступает простейший поток заявок на ремонт с плотностью λ = 4 заявки в месяц. Средняя продолжительность ремонта T₀= 1месяц. Определить вероятность образования очереди на ремонт.

Решение

Найдем приведенную плотность потока заявок α= λ/μ=λТ₀=4∙1=4.

По формуле Р_отк =

Р_0ТК. = 4⁵/[5! (1+ 4/1+ 4²/2! + 4³/3! + 4⁴/4! + 4⁵/5!)] = 0,16.

Отметим, что при заданной вероятности отсутствия очереди на ремонт ,известных интенсивности отказов электрооборудования и средней продолжительности ремонта единицы электрооборудования можно определить оптимальное количество ремонтных бригад.

Рассмотрим расчет показателей надежности восстанавливаемых СМО.

Количественные характеристики показателей надежности зависят от состояния системы в каждый момент времени. Процессы изменения состояний системы, на которые в основном влияют случайные отказы отдельных элементов, описываются с использованием пуассоновских случайных процессов (редкие случайные явления). При экспоненциальном распределении времен между отказами и ремонтами используются марковские случайные процессы

Математический аппарат для анализа надежности восстанавливаемых СМО разработан на основе марковской модели с дискретным множеством состояний и непрерывным временем [4,5,7]. Для этого необходимо, чтобы потоки, переводящие систему из состояния в состояние, были пуассоновскими, а законы распределения наработки до отказа и времени восстановления были бы экспоненциальными. Структуры системы изображается в виде графов состояний с прямыми (отказ) и обратными (ремонт) переходами.

Обычно рассматриваются марковские процессы у которых для любого момента времени вероятность каждого состояния элемента (системы) в будущем зависит только от состояния в настоящий момент, и не зависит от того, каким образом элемент (система) пришел в это состояние.

Использования марковских случайных процессов в системах электроснабжения подтверждается практикой их эксплуатации.[6].

Действительно, в большинстве случаев, каждый элемент системы является достаточно надежным и отказывает сравнительно редко. Поток отказов каждого элемента образуется из суммы потоков его конструктивых частей. Эти потоки независимы. Аналогичный вывод можно сделать о системе электроснабжения в целом. Если не рассматривать каскадное развитие аварии, то появление отказа элемента на одном интервале времени почти не влияет на появление отказов в другое время. Поэтому поток отказов таких элементов системы в целом можно рассматривать как пуассоновский.

В периоды приработки, интенсивного износа и старения потоки отказов элементов не обладают марковским свойством. Но на практике продолжительность этих периодов сокращается за счет проведения испытаний ответственных элементов системы до начала эксплуатации и плановой замены морально устаревшего и изношенного оборудования.

Исходя из вышеизложенного , рассмотрим математические модели, отвечающие нормальному периоду эксплуатации элементов (подсистем), что представляет наибольший практический интерес .

Порядок исследования системы с использованием марковских случайных процессов:

1. Вводится понятие состояния системы. В данном случае это будет чередующийся процесс отказов и восстановлений системы.

2. Описываются все состояния системы, в которых она может находиться. Множество состояний системы представляется в виде вектора = < 0, 1, ..., b >.. При этом N = b + 1 - общее число состояний системы.

3. Составляется граф состояний системы в следующем виде (рис.4.1).

Рисунок 4.1. Граф состояний системы

4. Определяется вектор начальных условий

(0) = P₀= < P₀(0),Р₁(0), ..., Р_b(0) >.

5.Для каждого возможного перехода указывается интенсивность λ_ξ_k_.. Составляется матрица переходов Λ = || λ_ξ_k_.||_NN.

6.Вводится вектор вероятности состояния: (t) = < Р₀ (t), Р₁, (t), ..., P_b(t)>, где Ρ_ζ - вероятность пребывания системы в ξ-м состоянии в момент времени t. Поскольку события, отображающие вероятности Ρ_ζ (t), образуют полную группу, то = 1 рассматривается как нормировочное уравнение. Задача сводится к определению вектора переходных вероятностей, который позволяет рассчитать необходимые показатели надежности.

7.Составляется система дифференциальных уравнений Колмогорова

dP_ξ(t) / dt = ‑P_ξ(t) _ξk + _ξkP_k(t), (4.9)

k= 1, 2 ,…,b ; P_ξ(0) = P_ξ₀.

Уравнение Колмогорова в матричной форме имеет вид

=αP(t) ,P(0)=P₀,_(4.10)

где α = || _.||_NN, α_ξ_k =

или используя условие нормировки, после преобразования, получим

= βp(t) = C, (4.11)

где β = || _.||_bb, =

C = λ_01,λ₀₂,…,λ_ob

8. Решается система дифференциальных или алгебраических уравнений (в случае установившегося процесса, dP/dt=0).Уравнение Колмогорова представляет собой систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решение такой системы уравнений может быть выполнено на ЭВМ.

Для практических целей удобно решать систему дифференциальных уравнений на основе преобразования Лапласа . После операторного преобразования Лапласа уравнение Колмогорова примет вид

sР(s) = βР(s) ‑ Р (0), (4.12)

где Р (s) - матрица-столбец искомых вероятностей;

β - матрица коэффициентов переходов; Р (0) - матрица-столбец начальных значений вероятностей.

Решение уравнения (4.12)

Р (s) = [sI – β]^-1 Р (0), (4.13)

где I - единичная матрица.

9.На практике процесс функционирования систем электроснабжения длится в течении нескольких лет. Таким образом можно перейти к предельным вероятностям. При существовании предельного стационарного режима система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени, то есть каждое из состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, представляющей не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Вектор финальных вероятностей, характеризующих стационарный режим

=<Р_1∞,Р_2∞,…,Р_b_∞>, (4.14)

Где P_ξ_∞ = lim P_ξ(t), ζ= 1,2,…,b определяется укороченным уравнением Колмогорова.

βР_∞ = ‑С. (4.15)

Это уравнение с учетом того, что позволяет найти вероятности всех состояний.

10.Рассчитав вероятности состояний находим показатели надежности.

Рассмотрим вопросы оценки надежности восстанавливаемых систем электроснабжения с учетом специфики их эксплуатации .