Теоретическая часть. Изучение метода дифференциальных уравнений

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ПРОЕКТИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Цель работы

Изучение метода дифференциальных уравнений.

Теоретическая часть

Метод основан на допущении о показательных распределениях времени (наработки) между отказами и времени восстановления. Параметр потока отказов w=l=1/mt, интенсивность восстановления m=1/mtв, где mt - среднее время до отказа (между отказами); mtв - среднее время восстановления.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован при расчете надежности как восстанавливаемых, так и невосстанав­ливаемых систем. Для применения метода необходимо иметь матема­тическую модель в виде множества состояний системы, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Чтобы определить показатели надежности, составляют и реша­ют систему дифференциальных уравнений для вероятностей состоя­нии (уравнений Колмогорова).

Обычно предполагают, что отказавшие объекты начинают не­медленно восстанавливаться и отсутствует число ограничений на число восстановлений.

Математическую модель обычно изображают в виде графа (схемы) состояний, ниже приведен пример графа состояний.

ln l1

 

.mn m1

.m3 l3 m2 l2

.

 

При невосстанавливаемой системе между состояниями имеется лишь по одной стрелке.

Для определения вероятностей pj(t) нахождения системы в момент времени t в j-м состоянии можно составить по графу состояний систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для приведенного графа состояний имеем:

 

 

;

;

.

.

.

Уравнение для состояния 0 опускается из-за громоздкости. Система дифференциальных уравнений дополняется нормировочным условием .

Все множество возможных состояний системы разбивается на два: подмножество состояний n1, в которых система находится в работоспособном состоянии и n2 – подмножество неработоспособных состояний.

Когда выписывают коэффициент готовности или коэффициент простоя (перерывы в работе системы допустимы), рассматривают установившийся режим эксплуатации при . При этом все производные и система дифференциальных уравне­ний переходит в систему алгебраических уравнений.

Рассмотрим в качестве примера вычисление коэффициента готов­ности КГС системы, состоящей из n элементов, коэффици­енты готовности которых КГ1,КГ2, … КГn . При отказе одного из элементов отказывает вся система.

Граф состояний системы изображен выше. На графе обозначены следующие возможные состояния:

0 - все элементы работоспособ­ны;

1- элемент неработоспособен, остальные работоспособны;

2 - второй элемент неработоспособен, остальные работоспособны;

3 - третий элемент неработоспособен, остальные работоспособны и т.д.

Вероятности одновременного появления двух неработоспособных элементов пренебрежимо малы. Символами , ,… обозначены интенсивности отказов; , ,…, - интенсивности восстановления соответствующих элементов. При установившемся режиме эксплуатации

;

;

.

.

.

Решив полученную систему алгебраических уравнений, с учетом нормировочного условия получим

 

. (1)

Вероятность нахождения в j -м состоянии .

Из соотношения имеем: (2)

Подставив (2) в (1), получаем

.

Пусть, например, КГ1=0,61; КГ2=0,72; КГ3=0,63.

Получаем

.