Отображения и потоки
Математические модели динамики в общем случае могут иметь один из трех видов:
- дифференциальные уравнения (или потоки),
- разностные уравнения (называемые отображениями)
- символические динамические уравнения.
Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические.
В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (R) или левой (L). Тогда траектория может описываться последовательностью символов LRRLRLLLR, .... Периодическая орбита может иметь вид LRLR ... или LLRLLR .... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов.
В колебательных системах с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре можно получить, стробоскопически измеряя динамические переменные в моменты, соответствующие определенной фазе вынуждающего движения. В задаче с 
переменными сечение Пуанкаре получается в результате измерения 
переменных в те моменты, когда 
-я переменная принимает некоторое определенное значение или когда траектория в фазовом пространстве пересекает некоторую произвольную плоскость, как показано на рисунке. Если известен закон эволюции в промежутке между двумя пересечениями выбранной плоскости, то можно связать положение траектории в моменты 
, и 
с помощью известных функций. Например, в случае, показанном на рисунке:
и 
.
Математические методы исследования таких отображений подобны методам исследования дифференциальных уравнений.
Можно найти равновесные или неподвижные точки отображения и произвести классификацию этих точек с помощью анализа отображения, линеаризованного вблизи данной точки покоя.
Если 
есть отображение общего вида для, скажем, переменных, составляющих вектор 
, то точка покоя удовлетворяет уравнению 
.
Рисунок 1.69 - Сечение Пуанкаре – составление разностного уравнения (отображения) для динамической модели с непрерывно меняющимся временем
Итерацию отображения часто записывают в виде 
. При такой записи уравнение для " 
-цикла" или -периодической орбиты, т. е. точки покоя, повторяющейся после итераций отображения, имеет вид 
.
Эти рассуждения подразумевают, что при непрерывной эволюции периодические движения соответствуют точкам покоя разностных уравнений, полученных с помощью сечения Пуанкаре. Итак, объекты, наиболее часто исследуемые при изучении перехода от периодического движения к хаотическому, – это простые одномерные и двумерные отображения.