Хаотические колебания маятника
Движение частицы в силовых полях, которые периодичны как в пространстве, так и во времени, служит моделью ряда процессов в Физических системах. Среди них классический маятник, заряженная частица в движущемся электрическом поле, синхронные роторы и переход Джозефсона. Например, нелинейная динамика частицы движущейся в бегущем электрическом поле, описывается уравнением
,
где 
– периодическая функция. Изучение вынужденных колебаний маятника, описываемых уравнением
также выявило сложные динамические процессы и хаотические колебания.
Параметрическими колебаниями называют колебания системы при периодических изменениях во времени одного из нескольких параметров системы. Например, стержень на простой подвеске, на который действует осевое доизгибное сжатие, в одномодовом приближении описывается уравнением
.
Это линейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных является хорошо известным уравнением Матье. При определенных значениях 
и 
это уравнение имеет неустойчивые колебательные решения. Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл.
Аналогичный пример – маятник с колеблющейся точкой подвеса. Математическое описание такого маятника приводит к уравнению
.
этих численных решениях наблюдаются удвоения периода, и для шестой субгармонической бифуркации оценка числа Фейгенбаума дала 
.
Рисунок 1.78 - Маятник с параметрическим возбуждением