Раздельное резервирование
Логическая схема устройства представлена на рис. 4.2,б.
При раздельном резервировании вероятность безотказной работы системы
, (4.17)
где Pj(t) – вероятность безотказной работы j–го элемента (участка резервирования) в течении наработки (0, t); m – число участков резервирования; (kj+1) – число параллельно соединенных на логической схеме элементов в j–м участке резервирования.
При равнонадежных элементах и показательном распределении наработки до отказа
- вероятность безотказной работы
(4.18)
- средняя наработка до отказа
(4.19)
- интенсивность отказов
. (4.20)
В случае, когда 
, имеем:
(4.21)
4.4.1.3. Общее резервирование с дробной кратностью 
При общем резервировании с дробной кратностью для определения вероятности безотказной работы системы используется биномиальный закон распределения.
(4.22)
где η – количество отказавших устройств, при которых резервированная система остается работоспособной ( η = 0,1,…, (к+1-n),
n- необходимое число работоспособных устройств из общего числа (к+1) устройств,
Pi(t) – вероятность безотказной работы основного или любого резервного устройства в течение наработки (0, t).
При показательном распределении наработки до отказа:
(4.23)
При резервировании элементов с двумя видами отказов (обрыв и короткое замыкание) рассматривают не логические, а электрические схемы соединений элементов.
Вероятность обрыва и короткого замыкания обозначим соответственно q0(t) и qS(t).
Для расчета Q(t) - вероятности отказа схемы с учетом двух видов отказов элементов составляется таблица всех возможных вариантов состояний элементов схемы, выделяются комбинации, при которых схема не работает, вычисляются и суммируются вероятности появления этих комбинаций.
Для схем (например, релейно-контактных), определенный вид отказа которых может быть вызван лишь одноименным видом отказа элемента, вероятность отказа определяется по формуле
При последовательном электрическомсоединения m элементов
(4.24)
. (4.25)
При параллельном электрическом соединении k +1элементов
(4.26)
(4.27)
4.4.2. Резервирование замещением ненагруженное и облегченное с абсолютно надёжными переключателями
4.4.2.1.Общее ненагруженное резервирование замещением
Рассмотрим случай общего резервирования. Считаем, что резервные системы не могут отказывать до момента их включения в работу, также предполагаем, что индикаторы состояния основной или резервных цепей идеальны.
При раздельном резервировании приведенные ниже формулы справедливы для отдельных участков резервированной схемы.
Резервированная система будет безотказно работать на отрезке времени [0, t] при следующих возможных событиях:
1) основная система не отказала на интервале времени [0, t],
2) работающая система отказала на интервале времени [τ, τ+Δτ], где
τ < t, Δτ→ 0, но работоспособный резервный элемент включился в работу и безотказно отработал интервал времени [τ, t- τ].
При принятых допущениях вероятность безотказной работы системы, имеющей одно основное и kрезервных устройств, вычисляется по рекуррентной формуле
(4.28)
где Pk(t)—вероятность безотказной работы системы, имеющей одно основное и k - 1 резервных устройств; P(k+1)(t - τ) - вероятность безотказной работы (k+1)-го резервного устройства в течение наработки
(t - τ) при условии, что до момента τэто устройство было работоспособно; fk(τ) - плотность распределения наработки до отказа системы, имеющей одно основное и k - 1 резервных устройств.
В случае показательного распределения наработки до отказа и равнонадежных элементах имеет место простейший поток отказов и вероятность безотказной работы системы определяется ситуацией, когда в резервированной системе число отказавших цепей η <= k (используем закон Пуассона):
(4.29)
где λ0 - интенсивность отказов одного из k+1 параллельно соединенных на схеме резервирования устройств.
Средняя наработка до отказа
(4.30)
Так как при ненагруженном резерве значения наработки τ1, τ2, … τk+1 системы в состояниях 1, 2, ..., (k+1) можно считать независимыми случайными величинами, при (k+1) ≥ 5 распределение наработки до отказа резервированной системы будет практически нормальным.