Решение. Значение граничной частоты F0 преобразователя определим из условия (6.39)
Значение граничной частоты F0 преобразователя определим из условия (6.39). Используя данные примера 6.7, получим
После логарифмирования это равенство приводится к виду:
F2 - 0,794×103×F + 15,75×104 = 0.
Положительный корень полученного уравнения F0 = 407,44. Следовательно, граничное значение частоты F0, при котором будут еще сохранены нормальные условия функционирования преобразователя, будет F0 = 407,44 Гц. Сравнивая результаты решений в примерах 6.7 и 6.8, убеждаемся в их близости. Незначительные их расхождения обусловлены приближенностью использованных методов прогнозирования.
Точность предсказаний, которую они гарантируют, примерно одного порядка, но для их использования требуется различный объем статистической информации. Наибольший он в методе Байеса, наименьший - в методе последовательного анализа. В инженерной практике все же несколько большее распространение получили методы последовательного анализа и минимального риска.
6.6.3 Физические методы прогнозирования
Физические методы прогнозирования надёжности РЭС базируются на анализе физических и физико-химических процессов, протекающих в РЭС под влиянием дестабилизирующих факторов. Наиболее подробно эти методы описаны в [20], откуда и взят материал данного подраздела.
Так как износ и разрушение реальных устройств обычно локализованы и зависят от конкретных причин, то наиболее приемлемой моделью надёжности ЭС является физическая модель, основанная на принципе суммирования компонентов надёжности, каждый из которых представляет надёжность элемента физической структуры (ЭФС) изделия. Под физическими моделями надёжности понимают математическое описание физических процессов и явлений, определяющих параметры надёжности изделий. Любое изделие в них делят на ЭФС, каждый из которых имеет свою характеристику надёжности.
Изучение и моделирование кинетики процессов, происходящих в выделенных ЭФС, позволяет установить связь между их геометрией, свойствами материалов, эксплуатационными факторами и временем наработки ЭС до отказа. При этом следует учитывать, что в каждом ЭФС может действовать несколько механизмов отказа. Следовательно, каждый компонент надёжности необходимо рассматривать как систему, число элементов в которой равно числу действующих механизмов отказов.
При прогнозировании надёжности результаты физических исследований должны дополняться данными анализа отказов и данными статистического характера. Их можно получить при работе ЭС в форсированных рабочих режимах при испытании, что лежит в основе метода ускоренных испытаний. Ускорить физико-химические процессы, приводящие к отказу, можно усиливая нагрузку на ЭС при испытании (температуру, напряжение, ток, давление, скорость вибрации, частоту циклов и т.д.), т.е. в форсированном режиме. Ускоренными форсированными называют испытания в форсированных режимах с последующей экстраполяцией полученных результатов к условиям испытаний ЭС в нормальных режимах.
Физическая сущность ускоренных испытаний заключается в ускорении только того механизма отказов, который является характерным для испытываемых изделий при их работе в нормальном режиме. Поэтому при увеличении нагрузки на ЭС с целью сокращения времени испытания на надёжность необходимо всегда иметь в виду, что механизм отказов должен сохраняться неизменным. Это является наиболее сложной проблемой ускоренных испытаний, поскольку выявить характерный механизм отказов бывает иногда очень трудно.
Опыт показывает, что механизм отказов при испытании изделий в форсированном режиме остается тем же самым, что и при испытании в нормальном режиме, если закон распределения вероятности безотказной работы и коэффициент вариации остаются неизменными при переходе от нормального режима к форсированному. В этом случае графики зависимости вероятности безотказной работы Р(t) от отношения t / M(t) для форсированного и нормального режимов испытаний совпадают и можно графически экстраполировать результаты ускоренных испытаний к нормальным условиям.
Выбор величины нагрузки, прикладываемой для ускорения испытаний изделий, определяется не только требованием сохранения механизмов отказов, характерных для нормального режима, но и прочностными характеристиками испытываемых изделий. Наиболее изученными в настоящее время являются физико-статистические модели старения изделий, созданные в результате недорогих ускоренных испытаний, проводимых при термической нагрузке. Установлено, что протекающие во многих материалах физико-химические процессы, обусловливающие старение ЭС под действием термической нагрузки, достаточно точно описываются уравнением Аррениуса. Уравнение Аррениуса характеризует зависимость скорости химической реакции от абсолютной температуры Т при постоянном объеме и имеет вид:
(6.42)
где J – количество вещества, вступающего в реакцию; dJ / dt – скорость реакции; С - константа; q - заряд электрона; Е - энергия активации, необходимая для вступления молекул в химическую реакцию; k - постоянная Больцмана. Чем больше Е, тем меньше скорость химической реакции. После преобразований уравнение (6.42) принимает вид
lg tср= C1×Е / Т + lg C2 , (6.43)
где С1 = q / (2,303×k); С2 = const; tср - статистическая оценка средней наработки на отказ.
Если построить зависимость (6.43) в координатах lg tср и 1/Т, получим семейство прямых (рисунок 6.6, а), каждой из которых соответствует постоянное значение отказов. Отрезок, отсекаемый прямой 1 или 2 на оси ординат, равен lg C2, а тангенс угла φ наклона этой прямой связан с энергией активации соотношением tg φ = C1×Е. Чем больше энергия активации, тем больше угол φ и тем выше надёжность изделий. Рассмотрим прямые 1 и 2 на рисунке 6.6, а, характеризующие соответственно результаты испытания изделий двух типов при термической нагрузке. При одном и том же приращении нагрузки (1 / Т2 - 1/ Т1) для отказа одного и того же процента изделий второго типа потребуется меньше времени, чем для изделий первого типа. Следовательно, изделия первого типа более надежны. Таким образом, по углу наклона прямой или по значению энергии активации можно сопоставить качественно (по принципу «лучше - хуже») надёжность двух (и более) типов изделий. Если сравнить различные модификации одного и того же изделия, то изменение угла наклона прямой характеризует лишь изменение конструкции изделия (улучшение или ухудшение), в то время как параллельное перемещение этой прямой характеризует технологические изменения. Прямая является графическим изображением зависимости (6.43) только в том случае, если механизм отказов во всем рассматриваемом диапазоне нагрузок остается неизменным. Если же механизм отказов при увеличении или уменьшении нагрузки изменяется, то, как правило, изменяется и энергия активации, что приводит к появлению изломов на прямой.
На практике обычно добиваются линейной зависимости логарифма отношения числа d отказов в выборке к ее объему n от величины нагрузки. В этом случае старение изделий может быть описано также моделью Аррениуса, но вид зависимости (6.43) несколько изменится. Поскольку энергия активации пропорциональна величине С tg φ, в (6.43) нельзя автоматически заменить время значением накопленных отказов (%). Однако графическим путем нетрудно перейти к зависимости накопленных отказов (%) от нагрузки. Для этого предположим, что испытания при различных термических нагрузках проходят восемь равных выборок, взятых из одной и той же партии изделий, и механизм отказов всех изделий в этом эксперименте один и тот же. В процессе испытаний зафиксируем время, в течение которого в первых четырех выборках откажет, например, 20% изделий, а во вторых четырех - 50%. Учитывая, что на каждую группу выборок подавалось четыре различных значения нагрузки, получим восемь различных значений времени наработки на отказ. Выделив их на графике зависимости lg tср от 1 / Т и соединив точки при одном и том же проценте накопленных отказов, построим две прямые параллельные линии (рисунок 6.6, б). Восставим перпендикуляр из любой точки оси ординат до пересечения с прямыми 1 и 2. Проекции точек пересечения на ось абсцисс дадут значения 1 / Т1, и 1 / Т2 соответствующие двум значениям логарифма накопленного процента отказов. Нанеся эти значения на график зависимости lg (d / n) от 1 / Т и соединив полученные точки, построим прямую (рисунок 6.6, в), которая описывается уравнением Аррениуса. Эта прямая определяет значения накопленных отказов (%) в зависимости от нагрузки за определенный промежуток времени, а по углу ее наклона можно судить о факторе ускорения.
При постоянном механизме отказов по результатам испытания изделия в форсированном режиме в течение времени tу можно судить о времени испытания изделий t = Kyc×tу в нормальном режиме для получения того же числа отказов. По модели Аррениуса фактор ускорения равен
Kyc = ехр[-(qЕ / k) × (1 / Т2 – 1 / Т1)], (6.44)
где Т1 и Т2 - температура при форсированном и нормальном режиме соответственно (Т1 > Т2). Для более надежных изделий фактор ускорения меньше, чем для менее надежных [20].