Статистическое определение вероятности
Наиболее точной мерой возможности является предел относительной частоты (частости) при неограниченном увеличении числа испытаний. Его называют статистической вероятностью.
Р = lim ( m/n )
n→∞
Такое определение является чисто теоретическим, так как на практике неограниченное увеличение числа испытаний не возможно.
При подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме, часто используются известные формулы комбинаторики. Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных исходов в некотором идеализированном эксперименте по выбору наудачу m элементов из n различных элементов исходного множества E = {e1, e2, ..., en}.
При постановке каждого такого эксперимента строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками. Существуют две принципиально отличные схемы выбора: в первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все m элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества). Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором. После того, как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера) могут быть либо упорядочены (т.е. выложены в последовательную цепочку), либо нет. В результате получаются следующие четыре различные постановки эксперимента по выбору наудачу m элементов из общего числа n различных элементов множества Е.
А. Схема выбора, приводящая к сочетаниям
Если опыт состоит в выборе m элементов без возвращения и без упорядочивания, то различными исходами следует считать m-элементные подмножества множества E, имеющие различный состав. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят название сочетания из n элементов по m, а их общее число N(W) определяется по формуле:
Cmn = n!/[m!(n - m)!] = n(n - 1)...(n - m + 1)/m!.
Для чисел Cmn, называемых также биномиальными коэффициентами, справедливы следующие тождества, часто оказывающиеся полезными при решении задач:
Cmn = Cn-mn (свойство симметрии),
Ckn+1 = Ckn + Ck-1n; C0n = 1 (рекуррентное соотношение),
C0n + C1n + ... + Cnn = 2n (следствие биномиальной формулы Ньютона).
Пример 1. Множество Е содержит 10 первых букв русского алфавита. Сколько различных алфавитов из трех букв можно составить из данного множества букв? Какова вероятность того, что случайно выбранный алфавит будет содержать букву «a»?
Решение Число различных алфавитов равно числу трехэлементных подмножеств множества Е (числу сочетаний из 10 элементов по 3):
N(W) = C310 = 10×9×8/(1×2×3) = 120.
Пусть событие A - случайно выбранный алфавит из трех букв, содержащий букву «a». Число элементов множества А равно числу всех возможных способов отобрать две буквы из девяти (из десяти букв исключена буква «a»), т.е. равно числу сочетаний из 9 элементов по 2: N(A) = C29 = 9×8/2 = 36.
Таким образом,
Р(A) = N(A)/N(W) = 36/120 = 0,3.
Б. Схема выбора, приводящая к размещениям
Если опыт состоит в выборе m элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора в последовательную цепочку, то различными исходами данного опыта будут упорядоченные m-элементные подмножества множества Е, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) называются размещениями из n элементов по m, а их общее число N(W) определяется формулой:
Amn = Cmn×m! = n!/(n - m)! = n(n - 1)...(n - m + 1).
Если n = m, то опыт фактически состоит в произвольном упорядочивании множества Е, т.е. сводится к случайной перестановке элементов всего множества. Тогда N(W) = Ann = n!.
Пример 2. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом?
Решение. Так как упорядочивается все множество из 8 элементов, то N(W) = A88 = 40320. Событию А благоприятствуют такие размещения, когда два отмеченных лица сидят рядом: всего 8 различных соседних пар мест за круглым столом, на каждой из которых отмеченные лица могут сесть двумя способами, при этом остальные 6 человек размещаются на оставшиеся места произвольно, поэтому по формуле о числе элементов прямого произведения множеств получаем N(A) = 2×8×6!. Следовательно Р(A) = N(A)/N(W) = 2/7.
В. Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями
Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества E = {e1, e2, ..., en}, но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m-элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Например, при m = 4 наборы {e1, e1, e2, e1} и {e2, e1, e1, e1} неразличимы для данного эксперимента, а набор {e1, e1, e3, e1} отличен от любого из предыдущих. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой N(W) = Cmn+m-1.
Пример 3. В библиотеке имеются книги по 16 разделам науки. Поступили очередные четыре заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятности следующих событий: А - заказаны книги из различных разделов наук, В - заказаны книги из одного и того же раздела науки.
Решение. Число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно, очевидно, числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4, т.е. N(W)= C416+4-1 = C419.
Число исходов, благоприятствующих событию A, равно числу способов отобрать без возвращения четыре элемента из 16, поэтому Р(A) = N(A)/N(W) = C416/C419 » 0,47.
Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу способов выбрать один элемент из 16, поэтому Р(A) = N(A)/N(W) = C116/C419 » 0,004.
Г. Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями
Если выбор m элементов из множества E = {e1, e2, ..., en}, производится с возвращением и с упорядочиванием их в последовательную цепочку, то различными исходами будут всевозможные m-элементные наборы (вообще говоря, с повторениями), отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Например, при m = 4 наборы {e1, e1, e2, e1}, {e2, e1, e1, e1} и {e1, e1, e3, e1} являются различными исходами данного опыта. Получаемые в результате различные комбинации называются размещениями, с повторениями, а их общее число определяется формулой
N(W)= nm.
Пример 4. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв алфавита E = {а, б, к, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»?
Решение. Число элементов множества, равновероятных исходов равно числу размещений с повторениями из 5 элементов по 4 т.е. N(W)= 54. Слову «мама» соответствует лишь один возможный исход. Поэтому Р(A) = N(A)/N(W) = 1/54 » 0,0016.
Д. Схема упорядоченных разбиений
Пусть множество E состоит из m различных элементов. Рассмотрим опыт, состоящий в разбиении множества E случайным образом на s подмножеств E1, E2, ..., Es таким образом, что:
. Множество Еi содержит ровно ni элементов, где i = 1, 2, ..., s.
. Множества Еi упорядочены по количеству элементов ni.
. Множества Еi, содержащие одинаковое количество элементов, упорядочиваются произвольным образом. Например, при n = 7, n1 = 2, n2 = 2, n3 = 3 разбиения {E1 = {e1, е2}, Е2 = {e3, е4}, Е3 = {e5, е6, e7}} и {E1 ={e3, е4}, Е2 ={e1, е2}, Е3 = {e5, е6, e7}} являются различными исходами данного опыта.
Число всех элементарных исходов в данном опыте определяется формулой
N(W) = n!/(n1! × n2! × ... × ns!).
Пример 5. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько существует способов их размещения? Какова вероятность того, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?
Решение. Разбиения в данном опыте характеризуются следующими параметрами: s = 3, n = 10, n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4. Тогда N(W) = 10!/(3!×3!×4!) = 4200.
Пусть событие А - Петров и Иванов попадут в одни четырехместный номер. Благоприятствующие событию А исходы соответствуют разбиениям со следующими параметрами: s = 3, n = 8, n1 = 3, n2 = 3, n3 = 2. Тогда N(A) = 8!/(3!×3!×2!) = 560. Искомая вероятность Р(A) = N(A)/N(W) = 560/4200 = 2/15.