Предел функции
Прогрессии
| Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия | |
| Обозначение | {аn} а1 – первый член прогрессии; d – разность прогрессии; | {bn} b1 – первый член прогрессии; q – знаменатель прогрессии; |
| Рекуррентное соотношение | an+1=an+d | bn+1=bn·q |
| Допустимые значения | а1ÎR; dÎR; | b1¹0; q¹0; |
| Формула общего члена | an=a1+(n-1)·d | bn=b1·qn-1 |
| Характеристическое свойство | an+1+an-1=2an | bn+1·bn-1=bn2 (bn¹0) |
| Формула суммы n первых членов | 
| 
|
| Другие формулы | 
| 
|
| Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (0<|q|<1) | 
|
Лекция 6. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Предел функции.
Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любой сходящейся к х0 последовательности значений аргумента х, отличных от x0 соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А 
.
Функция может иметь в точке только один предел.
Определение 2 (по Коши): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любого числа e>0 существует число d>0, такое, что для всех хÎХ, х¹х0, удовлетворяющих неравенству |x-х0|<d, выполняется неравенство |f(x)-A|<e.
Теорема 1: Оба определения предела функции эквивалентны.
Определение 3 (по Гейне): Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любой сходящейся к х0 последовательности значений аргумента элементы которой хn больше (меньше) х0, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А 
. Определения односторонних пределов.
Определение 4 (по Коши): Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любого числа e>0 существует число d>0, такое, что для всех хÎХ, х¹х0, удовлетворяющих неравенству х0<x<х0+d (х0+d<x<х0), выполняется неравенство |f(x)-A|<e. Определения односторонних пределов.
Теорема 2: Функция f(х) имеет в точке х=х0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы и они равны.
Определение 5: Число А называется пределом функции f(х) при х®+¥ (х®-¥), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы хn которой положительны (отрицательны) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А 
.
Если пределы функции при х®+¥ и при х®-¥ равны 
, то пишут 